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[edit] Définitions
Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire <math>*\, </math>. [edit] CaractérisationIl est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s?il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide et :
[edit] PropriétéL'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même aussi bien dans H que dans G. [edit] Exemples[edit] Sous-groupe des entiers relatifs
{{ boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Le sous-ensemble nZ est clairement stable pour l'opération et passage à l'opposé. C'est donc un sous-groupe de Z. Réciproquement, soit n le PGCD de G. G est alors inclu dans nZ. D'après le théorème de Bézout n appartient à G et donc nZ est inclu dans G. Donc G=nZ. QED }} [edit] Sous-groupe d'un groupe cycliqueSoit G un groupe cyclique d'ordre p.q où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors il existe un unique sous-groupe d'ordre p, il est cyclique et engendré par gq si g est un élément généraleur de G. La démonstration est donnée dans Groupe cyclique. [edit] Sous-groupe engendré par une partieTemplate:Détails Soit <math>S \subset G </math> une partie de <math>G</math>. Il existe un plus petit sous-groupe de <math>G</math> contenant <math>S</math>, appelé sous-groupe engendré par S, et noté <math> \left \langle S \right \rangle </math>. [edit] Théorème de LagrangeSi G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que : [G : H] |H| = |G| où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|. [edit] CorollaireTout groupe d'ordre premier est cyclique et isomorphe à <math>\frac {\mathbb Z} {p \mathbb Z}</math> où <math>p</math> est l'ordre du groupe. [edit] Liens avec les homomorphismesLa notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante : Soit <math>f : G \rightarrow G' \,</math> un homomorphisme de groupe. <math>H \mbox{ sous-groupe de } G \Rightarrow f(H)\,\mbox{ sous-groupe de } G' \, </math> <math>H' \mbox{ sous-groupe de } G' \Rightarrow f^(H') \mbox{ sous-groupe de } G \, </math> Template:Détails [edit] Liens avec les treillisLes sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes <math> A </math> et <math> B </math> est leur intersection <math> A \cap B </math>. La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit <math> \left \langle A,B \right \rangle </math>. Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement et G. [edit] Voir aussiTemplate:Portail mathématiques cs:Podgrupa da:Undergruppe de:Untergruppe en:Subgroup es:Subgrupo fi:Aliryhmä hr:Podgrupa it:Sottogruppo ko:??? nl:Ondergroep (wiskunde) pl:Podgrupa pt:Subgrupo ru:????????? sr:???????? (??????????) tr:Altöbek vi:Nhóm con zh:?? La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ sous-groupe |
Revue de presse sous-groupe
