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On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\mathbb</math> (dim(E)=n).

Certains des résultats qui suivent peuvent avoir un sens en dimension infinie.

On utilisera les notations de l'article Polynôme d'endomorphisme.

Sommaire 1 Définitions 2 Définitions 3 Propriétés 3.1 Degré 3.2 Calcul 3.3 Racines 4 Théorème de Cayley-Hamilton 5 Théorie des corps

[] Définitions

Si u est un endomorphisme de E alors la famille <math>\big(Id_E,u,u^2,\ldots,u^\big)</math> est une famile de cardinal <math>n^2+1</math> dans un espace, L(E), de dimension <math>n^2</math> donc est liée. Il existe des coefficients <math>a_0,a_1,a_2,\ldots,a_</math> non tous nuls tels que <math>a_0Id_E+a_1u+a_2u^2+\ldots+a_u^=0</math> c'est-à-dire P[u]=0 avec <math>P(X)=\sum_^ a_k X^k</math>.

Ainsi u admet un polynôme annulateur.

On note <math>{\mathcal I}(u)</math> l'ensemble des polynômes annulateurs de u : <math>{\mathcal I}(u)=\big\[X]\ /\ P[u]=0\big\}</math>

De plus, si P et Q appartiennent à <math>{\mathcal I}(u)</math> et si a et b sont des scalaires, alors (aP+bQ)[u]=aP[U]+bQ[u]=0 donc aP+bQ appartient à <math>{\mathcal I}(u)</math> et si P appartient à <math>{\mathcal I}(u)</math> et R appartient à <math>\mathbb[X]</math> alors (R.P)[u]=R[u]oP[u]=R[u]o0=0 donc RP appartient à <math>{\mathcal I}(u)</math> : <math>{\mathcal I}(u)</math> est un idéal de <math>\mathbb[X]</math>

Comme <math>\mathbb[X]</math> est un anneau principal <math>{\mathcal I}(u)</math> est principal, il est engendré par un vecteur, unique si on le suppose unitaire : le polynôme minimal de u, <math>\chi_u\,</math>, est le générateur unitaire de <math>{\mathcal I}(u)</math>.

On en déduit que P[u]=0 si et seulement si P est un multiple de <math>\chi_u\,</math>.

De même, pour un élément non nul x de E, l'ensemble des polynômes P tels que P[U](x)=0 est in idéal de <math>\mathbb[X]</math> : son élément générateur unitaire est le le polynôme minimal de x relativement à u noté <math>\chi_x\,</math> ou <math>\chi_x(u)\,</math>.

C'est un polynôme de degré n au plus qui divise <math>\chi_u\,</math> car <math>\chi_u[u](x)=0\,</math>.

[] Définitions

Si u est un endomorphisme de E alors la famille <math>\big(Id_E,u,u^2,\ldots,u^\big)</math> est une famile de cardinal <math>n^2+1</math> dans un espace, L(E), de dimension <math>n^2</math> donc est liée. Il existe des coefficients <math>a_0,a_1,a_2,\ldots,a_</math> non tous nuls tels que <math>a_0Id_E+a_1u+a_2u^2+\ldots+a_u^=0</math> c'est-à-dire P[u]=0 avec <math>P(X)=\sum_^ a_k X^k</math>.

Ainsi u admet un polynôme annulateur.

On note <math>{\mathcal I}(u)</math> l'ensemble des polynômes annulateurs de u : <math>{\mathcal I}(u)=\big\[X]\ /\ P[u]=0\big\}</math>

De plus, si P et Q appartiennent à <math>{\mathcal I}(u)</math> et si a et b sont des scalaires, alors (aP+bQ)[u]=aP[U]+bQ[u]=0 donc aP+bQ appartient à <math>{\mathcal I}(u)</math> et si P appartient à <math>{\mathcal I}(u)</math> et R appartient à <math>\mathbb[X]</math> alors (R.P)[u]=R[u]oP[u]=R[u]o0=0 donc RP appartient à <math>{\mathcal I}(u)</math> : <math>{\mathcal I}(u)</math> est un idéal de <math>\mathbb[X]</math>

Comme <math>\mathbb[X]</math> est un anneau principal <math>{\mathcal I}(u)</math> est principal, il est engendré par un vecteur, unique si on le suppose unitaire : le polynôme minimal de u, <math>\chi_u\,</math>, est le générateur unitaire de <math>{\mathcal I}(u)</math>.

On en déduit que P[u]=0 si et seulement si P est un multiple de <math>\chi_u\,</math>.

De même, pour un élément non nul x de E, l'ensemble des polynômes P tels que P[U](x)=0 est in idéal de <math>\mathbb[X]</math> : son élément générateur unitaire est le le polynôme minimal de x relativement à u noté <math>\chi_x\,</math> ou <math>\chi_x(u)\,</math>.

C'est un polynôme de degré n au plus qui divise <math>\chi_u\,</math> car <math>\chi_u[u](x)=0\,</math>.

[] Propriétés

[] Degré

Quand x varie alors <math>\chi_x\,</math> est un diviseur (de degré n au plus) de <math>\chi_u\,</math> ; comme <math>\chi_u\,</math> admet un nombre fini de diviseurs, les polynômes <math>\chi_x\,</math> décrivent un ensemble fini : <math>\big(P_1,P_2,\dots,P_r)</math>.

Si on note <math>E_i=\ker(P_i[u])</math> on a alors <math>E=E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_r</math> car chaque élément non nul de E vérifie <math>0=P_i[u](x)\,</math> donc <math>x\in E_i,</math> pour <math>\chi_x=P_i\,</math>.

On sait que si <math>E=E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_r</math> avec <math>E_i</math> sous-espace de E alors il existe i tel que <math>E=E_i</math> : on a alors <math>\ker(P_i[u])=E</math> donc <math>P_i=\chi_\,</math> est un multiple de <math>\chi_u\,</math> donc <math>\chi_u=\chi_\,</math>. Ainsi

• <math>\chi_u\,</math> est de degré n au plus
• il existe <math>x_0\in E</math> tel que <math>\chi_u=\chi_\,</math>

[] Calcul

Si M est la matrice de u dans une base de E on a <math>P[u]=0\,</math> si et seulement si <math>P[M]=0\,</math>. Pour déterminer le polynôme minimal on cherche donc les coefficients <math>a_0,a_1,a_2,\ldots,a_\,</math> non tous nuls tels que <math>a_0I_n+a_1M+a_2M^2+\ldots+a_M^=0\,</math> ce qui fournit un système linéaire de <math>n^2</math> équations (à n+1 inconnues) dont on sait qu'il admet au moins une solution non nulle.

[] Racines

On sait que, comme <math>\chi_u[u]=0\,</math>, toutes les valeurs propres de u sont des racines de <math>\chi_u\,</math>.

Inversement si <math>\chi_u(\lambda)=0\,</math> alors <math>\chi_u(X)=(X-\lambda)P\,</math> et <math>0=\chi_u[u]=(u-\lambda Id_E)\circ Q[u]\,</math>. Si on avait <math>u-\lambda Id_E\,</math> inversible alors on aurait Q[u]=0 ce qui contredit la minimalité de <math>\chi_u[\,</math>. Ainsi <math>u-\lambda Id_E\,</math> n'est pas inversible et <math>\lambda\,</math> est valeur propre de u. Ainsi les valeurs propres de u sont les racines du polynôme minimal de u.

Le théorème ci--dessus se traduit par : u est diagonalisable si et seulement son polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples.

[] Théorème de Cayley-Hamilton

On considère <math>x_0</math> tel que <math>\chi_=\chi_u\,</math>. Si <math>\chi_u(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_X^+X^p\,</math> avec <math>a_p\ne 0\,</math> alors la famille <math>\big(x_0,u(x_0),\ldots,u^(x_0)\big)\,</math> est libre car sinon on pourrait trouver un polynôme P, de degré au plus p-1 et non nul, tel que <math>P[u](x_0)=0</math> ce qui contredit la minimalité de <math>\chi_</math>.

Si complète <math>\big(x_0,u(x_0),\ldots,u^(x_0)\big)\,</math> en une base de E la matrice de u dans cette base est de la forme <math>\begin 0 & \cdots & \cdots & 0&-a_0&m_&\cdots & m_\\ 1& \ddots& & \vdots &\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\ddots& \ddots& \vdots &\vdots&\vdots&&\vdots\\ \vdots&\ddots& \ddots& 0 &\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0 & \cdots & 0&1&-a_& m_&\cdots & m_\\ 0 & \cdots &\cdots & \cdots & 0& m_&\cdots & m_\\ \vdots& & & &\vdots &\vdots& &\vdots\\ 0 & \cdots &\cdots & \cdots & 0& m_&\cdots & m_\\ \end=\begin C( \chi_u)& B\\ 0&C\\ \end</math> où <math>C(\chi_u)\,</math> est la matrice compagnon de<math>\chi_u\,</math>.

Le polynôme caractéristique de u est donc <math>P_u=C(\chi_u)(X).P_(X)\,</math> : il est divisible par <math>\chi_u\,</math>.

Ainsi on a le théorème de Cayley-Hamilton : <math>P_u[u]=0\,</math>.

[] Théorie des corps

En théorie des corps, étant donnés une extension de corps <math>\mathbb/\mathbb</math> et un élément ? de <math>\mathbb</math> qui est algébrique sur <math>\mathbb</math>, le polynôme minimal de ? est le polynôme normalisé p, à coefficients dans <math>\mathbb</math>, de degré minimum tel que p(?)=0. Le polynôme minimal est irréductible, et tout autre polynôme non nul q tel que q(?)=0, est multiple de p.

C'est en fait le polynôme minimal de l'endomorphisme de <math>\mathbb</math> défini par <math>u(x)=\alpha x</math> où <math>\mathbb</math> est considéré comme un <math>\mathbb</math>-espace vectoriel.

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Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire | Déterminant | Trace | Rang | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan | Décomposition de Dunford | Valeur propre | Polynôme caractéristique | Forme linéaire | Espace dual | Orthogonalité | Produit scalaire | Produit vectoriel | Polynôme d'endomorphisme | Polynôme minimal

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ polynôme minimal