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Cet article traite de l'histoire des nombres réels, de leurs raisons d'être et en décrit les propriétés essentielles. La construction des nombres réels est traitée dans un autre article.

En mathématiques, les nombres réels peuvent très informellement être conçus comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu'ils soient positifs, négatifs ou nul, ayant une représentation décimale finie ou infinie. Autrement dit, ce sont les rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) complétés par les nombres dont la représentation décimale est infinie non périodique<ref>En effet, un nombre (réel) est rationnel si son développement décimal est périodique. Par exemple, 1/3=0.333333... est bien rationnel.</ref>, tels la racine carrée de 2 et ?. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels et, parmi eux, on distingue les nombres algébriques et les nombres transcendants.

Le terme de nombre réel apparaît pour la première fois chez Cantor en 1883 dans ses publications sur les fondements de la théorie des ensembles. C'est un rétronyme, donné en réponse à la découverte des nombres imaginaires. Les nombres réels sont au centre de la discipline mathématique de l'analyse réelle, à laquelle ils doivent une grande part de leur histoire.

Sommaire 1 Les nombres réels dans la vie de tous les jours 2 Aspect historique 2.1 Origine des nombres 2.1.1 Mise en place des fractions 2.1.2 Correspondance avec des longueurs 2.2 Problèmes d'incomplétude 2.2.1 Irrationnalité de la racine carrée de 2 2.2.2 Développement décimal illimité non périodique 2.2.3 Suites et séries 2.2.4 Le calcul infinitésimal 2.2.5 La droite réelle 2.3 Après 2200 ans : la solution 2.3.1 La construction 2.3.2 La solution est plus riche que prévue 3 Définitions axiomatiques de R et premières propriétés 3.1 Approche axiomatique 3.2 Premières propriétés 3.3 Clôture algébrique 3.4 Topologie 3.5 Cardinalité 4 Sources 4.1 Liens externes 4.2 Références 4.3 Notes

[] Les nombres réels dans la vie de tous les jours

Si les nombres réels sont appellés « réels », c'est parce qu'ils peuvent représenter n'importe quelles grandeurs « réelles » (physiques) telles qu'une durée, une altitude (positive ou négative), une masse, un prix, la masse d'un atome et la distance de la plus lointaine des galaxies. Une partie des nombres réels est utilisée tous les jours, par exemple en économie, en informatique ou en ingéniérie.

La plupart du temps, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés :

• les nombres entiers, pour aller au troisième étage d'un immeuble ;
• les nombres relatifs, pour aller au sous-sol ;
• les rationnels, pour partager un gâteau.

Ces sous-ensembles de nombres réels ont des propriétés beaucoup plus fortes que les autres réels et, bien que ces ensembles soient infinis, ils ne peuvent représenter qu'une petite partie des mesures possibles.

Les nombres réels peuvent avoir un développement décimal infini. En théorie, n'importe quelle grandeur physique peut donc être représentée de la sorte. En pratique, ces nombres à développement décimal infini ne sont pas adaptés aux calculs et ne sont pas représentables sur des ordinateurs. Les économistes et les ingénieurs les utilisent sous une forme arrondie, en tronquant ou en arrondissant le développement décimal infini. Typiquement les commerçants font un arrondi à deux chiffres après la virgule.

Les informaticiens, bien que disposant des types de données tels que la virgule flottante (float en pseudo-code anglais) et de la virgule fixe n'utilisent également que des approximations adaptées aux calculs informatiques. Pour représenter exactement certains réels sur un ordinateur, il faudrait disposer d'une mémoire infinie ou d'un processeur dédié aux calculs symboliques.

En arrondissant ces représentations décimales, on perd la possibilité de représenter n'importe quelle grandeur physique supposée continue. Cependant, la théorie atomique tendrait à prouver que l'espace physique n'est pas infiniment divisible. Dans un tel cas, la nature serait discontinue et n'impliquerait pas l'ensemble continu que sont les nombres réels.

En attendant, les nombres réels sont une réalité pour quiconque trace une droite sur une feuille de papier. Par ailleurs, même si en pratique, comme on l'a vu, on peut souvent en faire l'économie, les nombres réels sont indispensables à de nombreuses théories scientifiques ; en particulier, des nombres réels sont présents intrinsèquement en tant que constantes physiques, comme pour la constante magnétique.

[] Aspect historique

[] Origine des nombres

[] Mise en place des fractions

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable ? par exemple une longueur ou une durée ? a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place très tôt chez les Sumériens et les Égyptiens est finalement performante. Elle permet d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée.

[] Correspondance avec des longueurs

La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au III^e siècle av. J.-C.

Sa construction rédigée dans 13 livres appelés Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques.

Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des preuves. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les preuves s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens.

Un pont est bâti entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont alors mis en correspondance avec des longueurs de segments.

[] Problèmes d'incomplétude

[] Irrationnalité de la racine carrée de 2

Cette approche met en évidence la première contradiction entre la notion de nombre de l'époque et le rôle qui leur est attribué.

• Une longueur dont le carré est égal à 2 existe. Un raisonnement géométrique, déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre qu'il est possible de construire un carré B de surface double de celle d'un carré initial A que l'on choisit de coté égal à 1. Si l'on note l la longueur du coté du carré B, qui est égal à la longueur de la diagonale du carré A, l'égalité <math>l^2=2</math> est alors vérifiée.

• Une longueur dont le carré est égal à 2 n'existe pas sous forme de fraction. Quelques résultats sont déjà connus en arithmétique, par exemple le lemme d'Euclide. A partir de ce lemme on montre qu'aucun nombre ne peut être la racine_carrée de 2. Ici, nombre signifie fraction car aucune autre formalisation n'est encore imaginable.

Les Eléments d'Euclide se fondent sur une axiomatique qui semble permettre de prouver à la fois qu'une proposition est vraie et fausse. Plus de deux millénaires seront nécessaires à l'humanité pour résoudre cette apparente contradiction, expliquer pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et trouver comment bien les représenter.

Il est à noter que trois siècles avant Euclide, Pythagore connaissait probablement l'irrationnalité de certaines racines. En revanche, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

[] Développement décimal illimité non périodique

Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division deviennent complexes si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est décrit par l'article fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets.

Il faut attendre le V^e siècle pour voir l'école indienne découvrir le concept du zéro et développer un système de numération décimal et positionnel.

Un deuxième problème apparaît alors. Toutes les fractions possèdent un développement décimal dans la mesure où ce développement est infini et périodique, c'est-à-dire que la suite des décimales ne s'arrête pas mais boucle sur un nombre fini de valeurs. La question de savoir quel sens donner à un objet caractérisé par une suite de décimales non périodique. Par exemple, le nombre à développement décimal infini qui s'exprime comme

0,1010010001...

où le nombre de 0 entre les chiffres 1 croît indéfiniment, correspond-il à une longueur ?

[] Suites et séries

Dans la deuxième moitié du XVII^e siècle, on assiste à un extraordinaire épanouissement des mathématiques dans le domaine du calcul des séries et des suites.

Nicolaus Mercator, les Bernoulli, James Gregory, Godfried Leibniz, et d'autres travaillent sur des séries qui semblent converger mais dont la limite n'est pas rationnelle. C'est le cas par exemple de :

• la série de Mercator : <math>\sum_^\infty {(-1)^k \over k} = 1 - \frac 12+\frac 13- \frac 14 + \cdots</math> qui converge vers <math>\ln (2)\,</math>
• la série de Grégory  : <math>\sum_^\infty {(-1)^k \over } = 1 - \frac 13+\frac 15- \frac 17 + \cdots</math> qui converge vers <math>\pi/4\,</math>

Pire, Liouville en 1844, prouve l'existence de nombres transcendants c'est-à-dire non racine d'un polynôme à coefficients entiers. Il ne suffit donc pas de compléter les rationnels en y ajoutant les nombres algébriques pour obtenir l'ensemble de tous les nombres.

• Nombres de Liouville : <math>\sum_^\infty \frac} = \frac} + \frac} + \frac} + \frac} + \cdots</math> où <math>(a_n)</math> est une suite d'entiers compris entre 0 et 9

[] Le calcul infinitésimal

Durant la deuxième partie du XVII^e siècle, Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l'analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la Terre tourne autour du Soleil ou l'inverse.

Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une grande complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition géométrique que d'une explicitation rigoureuse au sens de notre époque.

L'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions réside dans le fait que cette branche des mathématiques se fonde sur l'analyse des infiniments petits. Or, on peut comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle laissant infiniment plus de trous que de matière. L'analyse ne peut se contenter d'un tel support. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que l'infinité de petits trous doit être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé.

Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du XX^e siècle une large branche des mathématiques appelée topologie.

[] La droite réelle

Si l'existence des nombres négatifs apparaît très tôt dans l'histoire (mathématiques indiennes), il faut attendre 1770 pour qu'ils obtiennent grâce à Euler un vrai statut de nombre et perdent leur caractère d'artifice de calcul. Mais il faut attendre encore un siècle pour voir l'ensemble des réels associé à l'ensemble des points d'une droite orientée, appelée droite réelle.

On considère une droite D contenant un point O que l'on appellera, par convention, origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que l'on identifie au nombre 1. Par convention, on dira que la distance de O à I est égal à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même côté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative.

Cette relation que la formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite.

Image:Droite réelle.PNG L'abscisse du point <math>Q</math> est égale à <math>-\frac=-3</math>, <math>OI</math> et <math>OQ</math> désignant les distances de <math>O</math> à <math>I</math> et de <math>O</math> à <math>Q</math> respectivement

[] Après 2200 ans : la solution

[] La construction

Article détaillé : Construction des nombres réels

L'analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des nombres. Un siècle sera alors suffisant pour permettre de construire rigoureusement les nombres réels c'est-à-dire boucher les trous.

Comme parfois en mathématiques, une fois le problème arrivé à maturité, ce n'est pas un, mais deux penseurs qui résolvent la difficulté.

Le premier à avoir défini un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son approche est restée la plus fructueuse. Elle s'applique à bien d'autres cas que celui des nombres réels. Son idée est la suivante: une suite de nombres devrait converger (c'est-à-dire avoir une limite), si, au bout d'un certain temps, tous les éléments de la suite sont à une distance les uns des autres aussi petite que l'on veut. Cette idée est formalisée dans l'article suite de Cauchy. Considérons la suite 1 puis 1,4 puis 1,41 et ainsi de suite en alignant une par une toutes les décimales de <math>\sqrt 2</math>, cette suite vérifie le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carrée de 2 et cette approche permet de construire les nombres réels. Il est à noter que ce n'est que vers la fin du siècle que cette idée permet une construction démontrée de l'ensemble des réels qui est réalisée par deux mathématiciens Cantor en 1872 et Méray en 1869.

Le second est Richard Dedekind qui, en 1872, propose dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen (ce que sont et ce que doivent être les nombres) une méthode plus simple en étudiant la relation d'ordre sur les fractions. Son idée consiste à considérer les coupures, par exemple tous les nombres négatifs ou dont le carré est plus petit que 2. Cet objet est aussi un bon candidat pour représenter la racine carrée de 2.

Il existe une autre méthode à partir des développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à définir. C'est probablement cette raison qui fait de cette approche, la moins populaire.

Ces méthodes construisent toutes le même ensemble, celui des nombres réels.

[] La solution est plus riche que prévue

Le XIX^e siècle montre que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels, ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit intégralement ses promesses mais va largement au delà.

• Non seulement le paradoxe de la <math>\sqrt</math> est résolu, mais un théorème puissant: le Théorème des valeurs intermédiaires permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec les fonctions de type <math> x \rightarrow \sqrt[n]</math>, que dans le cas des fonctions trigonométriques.

• Non seulement les développements décimaux infinis ont maintenant un sens, mais en plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi, en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres algébriques, c'est-à-dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Une nouvelle famille de nombres est exhibée?: les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

• Enfin, le Théorème de Rolle est généralisé et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une vitesse toujours positive, alors le solide a avancé, c'est-à-dire qu'il s'est déplacé positivement (vers « l'avant »), par rapport à l'origine, et ce contrairement aux idées des paradoxes de Zénon. Ce résultat, intuitivement évident, a demandé des siècles d'efforts pour pouvoir être démontré. Mais cette propriété est si basique, que sans capacité de démonstration, il fallait bien se fonder sur les conjectures à l'époque indémontrables.

[] Définitions axiomatiques de R et premières propriétés

Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels que l'on note en général <math>\mathbb R</math>, par la phrase de David Hilbert: <math>\mathbb R</math> est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. « Dernier » signifie que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous ensemble de <math>\mathbb R</math>. Ici « isomorphe » signifie intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

[] Approche axiomatique

Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une ou une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au XX^e siècle. Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. L'approche axiomatique de <math>\mathbb R</math> ne montre néanmoins pas son existence. Il apparaît alors nécessaire de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels.

La définition axiomatique nous est essentiellement donnée en introduction. <math>\mathbb R</math> est l'unique corps commutatif archimédien complet. Mais on trouve aussi une autre définition axiomatique plus simple qui lui est équivalente. <math>\R</math> est l'unique corps commutatif totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure. L'unicité ici signifie que tout autre corps vérifiant ces propriétés est isomorphe à <math>\R</math>.

• <math>\mathbb R</math> est un corps commutatif. <math>\mathbb R</math> a donc une structure algébrique pure autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre réel. <math>\mathbb R</math> est un corps, ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les propriétés usuelles. Un corps est commutatif si sa deuxième opération, ici la multiplication, est commutative.

• <math>\mathbb R</math> est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:

  • <math>\forall (a,b,c) \in \mathbb^3 \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;</math>;

    <math>\forall (a,b) \in \mathbb^2, \forall c \in \mathbb_+^*\quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;</math>

• L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est le plus petit des majorants.

Ce dernier axiome différencie <math>\mathbb R</math> de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.

• <math>\mathbb R</math> est archimédien. Cela signifie que si l'on considère un nombre a strictement positif, par exemple 2 et que l'on considère la suite a, 2a, 3a, ... c'est-à-dire dans notre exemple 2, 4, 6, ... alors on obtiendra dans la suite, des nombres aussi grands que l'on veut. En langage mathématique, cela s'écrit :

<math>\forall (a,b) \in _+^*}^2 \;\exists n \in \mathbb \quad n\cdot a > b\;</math>

• <math>\mathbb R</math> est un corps complet. C'est-à-dire que toute suite de Cauchy réelle converge.

[] Premières propriétés

Cette section est essentiellement technique. Elle traite des propriétés essentielles et élémentaires pour un travail analytique sur <math>\mathbb R</math>.

La propriété suivante provient du fait que <math>\R</math> est archimédien.

• Entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel et un irrationnel.

Les autres propriétés sont des conséquences de la propriété de la borne supérieure.

• Tout ensemble non vide et minoré de <math>\mathbb R</math> admet une borne inférieure.

• Toute suite croissante et majorée dans <math>\mathbb R</math> est convergente.

• Toute suite décroissante et minorée dans <math>\mathbb R</math> est convergente.

• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. On appelle suites adjacentes deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont la différence tend vers 0.

</math>, d'après la propriété précédente, il existe un rationnel <math>r\,</math> compris entre <math>a'\,</math> et <math>b'\,</math>, puis en multipliant par <math>\sqrt2</math>, il existe un irrationnel <math>r\sqrt 2</math> compris entre <math>a\,</math> et <math>b\,</math>.

}}

[] Clôture algébrique

Il existe un ensemble de fonctions particulièrement intéressantes, les polynômes. Un polynôme peut parfois être factorisé. C'est-à-dire qu'il s'exprime sous la forme de produit de polynômes de degrés plus petits. L'idéal étant que l'on puisse factoriser tout polynôme en facteurs de degré 1 (c'est-à-dire sous la forme <math>ax+b\;</math>). Cette propriété dépend du corps sur lequel on construit ces polynômes. Par exemple sur le corps des rationnels, quel que soit <math>n</math> entier supérieur ou égal à deux, il existe des polynômes de degré <math>n</math> irréductibles, c'est-à-dire que l'on ne peut pas les exprimer sous forme de produit de polynômes de degrés plus petits. Pour les nombres réels, on démontre que le plus grand degré d'un polynôme irréductible est égal à deux. En d'autres terme, si le polynôme ne se décompose pas, c'est qu'il est de la forme <math>ax^2+bx+c\;</math>. Les corps qui n'ont comme polynômes irréductibles que les polynômes de degré 1 sont dit algébriquement clos.

Si <math>\mathbb R</math> n'est pas algébriquement clos, on peut plonger ce corps dans un corps plus vaste. Il s'agit d'un nouveau corps, le corps des nombres complexe. Cependant ce corps n'est pas globalement « meilleur ». Sa clôture algébrique est une propriété fort intéressante, mais elle a un coût : le corps des complexes ne peut pas posséder de relation d'ordre compatible avec ses deux opérations. En quelque sorte, ce qui est gagné d'un côté est perdu d'un autre.

[] Topologie

La raison d'être des nombres réels est d'offrir un ensemble de nombres avec les bonnes propriétés permettant la construction de l'analyse. Deux approches utilisant deux concepts différents sont possibles.

• On peut utiliser la notion d'espace métrique qui sur <math>\mathbb R</math> associe la distance usuelle. Cette distance, que l'on ici note <math>d\;</math>, était déjà utilisée par Euclide. Elle est définie de la manière suivante:

<math>\forall (x,y)\in \mathbb^2, d(x,y)=|y-x|\;</math>

Ce concept est le plus intuitif et en général demande des démonstrations un peu plus naturelles. C'est souvent à partir de ce concept que les propriétés analytiques de <math>\mathbb R</math> sont développées et prouvées.

• On peut aussi utiliser la théorie de la topologie. Cette théorie est plus générale que celle associée à la distance. Tout espace métrique est associé à un espace topologique. Mais la réciproque n'est pas vraie.

L'élégance favorise la base axiomatique la plus faible. Au XX^e siècle un travail de reformulation générale des mathématiques est entrepris par l'association Bourbaki et se traduit par la rédaction d'un ouvrage appellé Éléments de mathématique. Cet ouvrage traite, de manière rigoureuse, d'une vaste partie des mathématiques actuelles. Pour cette raison, les Éléments développent et démontrent les propriétés de l'ensemble des réels à partir de la topologie. C'est le choix que nous suivrons ici.

[] Cardinalité

Combien y a t-il de nombres réels ? Une infinité, mais laquelle ? Il existe plusieurs cardinaux infinis. Ici cardinal peut se comprendre naïvement comme le nombre d'éléments que contient un ensemble. Dans le cas où les ensembles ne sont pas finis, notre première intuition est trompeuse. Pour comprendre le piège, comparons le cardinal des nombres entiers positifs et des nombres pairs positifs. Notre premier réflexe est de dire que le cardinal des entiers positifs est plus grand car cet ensemble contient, non seulement les nombres pairs mais en plus les nombres impairs, donc deux fois plus de nombres. Puis on peut se dire que l'application qui, à un nombre entier positif, associe le double de ce nombre, montre une correspondance bijective, c'est-à-dire qui associe à chaque nombre de l'ensemble de départ un et un unique élément dans l'ensemble d'arrivée. Notre premier réflexe n'est pas le bon et ne permet pas de construire de théorie des cardinaux. Les deux cardinaux sont en fait égaux. En fait, l'ensemble des entiers positifs et l'ensemble des entiers pairs positifs (ou impairs positifs) correspondent à un même cardinal dit dénombrable. Autrement dit, il y a autant de nombres entiers positifs que de nombres pairs (ou impairs) positifs !..

Qu'en est-il du cardinal des nombres rationnels ? Il semble infiniment plus grand que celui des entiers car entre deux entiers il existe une infinité de fractions. Cependant, il est encore possible d'établir une bijection entre l'ensemble des entiers et celui des fractions. La démonstration en est donnée dans l'article Ensemble dénombrable.

Posons nous alors la même question pour l'ensemble <math>\mathbb R</math> ? Son cardinal n'est pas dénombrable, il est supérieur à celui des nombres entiers. le cardinal des nombres rationnels est noté <math>\aleph_0\;</math> et se prononce aleph 0. Celui des nombres réels est noté <math>\aleph_1\;</math> et il est appelé le cardinal du continu. D'où provient ce changement d'échelle de cardinal ? En fait, les rationnels et même les nombres algébriques ont toujours un cardinal dénombrable. L'ensemble des nombres réels possède le cardinal du continu. Ils sont donc infiniment plus nombreux que les nombres algébriques et donc que les nombres entiers. Georg Cantor, génial inventeur de l'argument de la diagonale, établi cette théorie et se posa la question de l'existence d'un cardinal strictement plus grand que celui des nombres rationnels et strictement plus petit que celui des nombres réels. Son hypothèse est qu'un tel cardinal n'existe pas, on l'appelle l'Hypothèse du continu. Cette conjecture est fondamentale dans l'histoire des mathématiques à deux titres :

• Tout d'abord la question des cardinaux a été englobée par Cantor dans une théorie plus vaste, la Théorie des ensembles, qui sert maintenant de fondement à toute la Mathématique. L'intégralité du formalisme et de la construction des mathématiques possède pour fondation cette théorie.

• Ensuite la réponse à la question de l'hypothèse du continu est réellement étrange, il a fallu attendre la deuxième moitié du XX^e siècle pour la trouver. Elle est indécidable. Cela signifie qu'il est aussi impossible de démontrer l'existence d'un tel ensemble, que de montrer que cet exemple n'existe pas.

La rumeur prétend que cette question a fini par rendre Cantor fou. Ce que l'on peut affirmer, c'est que Cantor a travaillé sur ce problème, qu'il ne l'a jamais résolu et qu'il est mort schizophrène.

[] Sources

[] Liens externes

• Histoire des nombres
• Chronomath
• Construction des nombres réels
• [pdf] Une histoire des mathématiques
• J.J. O'Connor et E.F. Robertson, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews.
  • (en) Histoire des nombres réels, première partie?: de Pythagore à Stevin;
  • (en) Histoire des nombres réels, seconde partie?: de Stevin à Hilbert.
  • (en) Étude plus approfondie.

[] Références

Histoire des mathématiques

• Richard Mankiewicz Christian Jeanmougin Denis Guedj, Une histoire des mathématiques, Éditions Seuil
• Denis Guedj, L'empire des nombres, Éditions Gallimard
• Jean Dhombres, Mathématiques au fil des âges, Gauthier-Villars
• Nicolas Bourbaki, Eléments d'histoire des mathématiques, Édition Masson

Livres historiques de mathématiques

• Euclide, Les Eléments Vol 4 Livre XI à XIII, Édition Puf
• Isaac Newton, préface de Voltaire et traduction d'Emilie du Chatelet, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, Édition Dunod

Références sur les nombres réels et l'analyse élémentaire

• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique - Les structures fondamentales de l'analyse - Livre III - Topologie générale
• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique - Les structures fondamentales de l'analyse - Livre IV - Fonctions d'une variable réelle (Théorie élémentaire)
• Roger Godement, Analyse mathématique

[] Notes

<references/>

Articles de mathématiques en rapport avec la notion de nombre

Définition des nombres · Entiers naturels · Entiers relatifs · Nombres transfinis  · Nombres décimaux · Nombres rationnels · Nombres constructibles · Nombres algébriques · Nombres transcendants · Nombres réels · Nombres complexes · Nombres hypercomplexes · Quaternions · Octonions · Sédénions · Nombres hyperréels · Nombres surréels · Nombres ordinaux · Nombres cardinaux · Nombres p-adiques · Nombres normaux · Suites d'entiers · Constantes mathématiques · Grands nombres · Infiniments petits · Infini

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