Revue de presse Ultrafiltre
Ultrafiltre
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Sommaire |
[] Définition
Un ultrafiltre sur un ensemble E est un filtre tel qu'il n'existe aucun filtre sur E strictement plus fin que lui. Cela signifie qu'un ultrafiltre est un élément maximal de l'ensemble des filtres ordonnés par l'inclusion.
On peut aussi montrer qu'un filtre sur E est un ultrafiltre si et seulement si pour tout sous-ensemble A de E, A ou son complémentaire appartient à l'ultrafiltre. Le passage d'une définition à l'autre, bien que facile à démontrer, est fondamental.
[] Exemple d'ultrafiltre
L'ensemble des parties d'un ensemble E qui contiennent un élément choisi dans cet ensemble est un ultrafiltre (un tel ultrafiltre est dit principal, ou centré, ou trivial).
Soit E = . F = ,,,} est un ultrafiltre principal.
[] Applications
L'utilisation d'ultrafiltres permet de démontrer relativement aisément [1] le Théorème de Tychonov.
L'existence d'ultrafiltres non principaux sur ? permet de définir un modéle de l'Analyse non standard [2] par la construction des nombres hyperréels.
L'existence d'ultrafiltres non principaux est une conséquence de l'axiome du choix (et plus précisément du lemme de Zorn).
[] Notes
[] Bibliographie
- Henri Cartan, Théorie des filtres. CR Acad. Paris, 205, (1937) 595?598.
- Henri Cartan, Filtres et ultrafiltres CR Acad. Paris, 205, (1937) 777?779.
- Nicolas Bourbaki, Topologie générale, Eléments de mathématiques , Paris, Hermann, 1971.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Ultrafiltre
