Revue de presse Transitivit%E9_%28math%E9matiques%29
Transitivité (mathématiques)
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire 
définie sur un ensemble E est transitive quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :
![\forall x, y, z \in E\left[(x \mathcal y \and y \mathcal z) \implies x \mathcal z\right]](http://upload.wikimedia.org/math/8/6/f/86fbf7a325c8a1615bced0010ae3e7bd.png)
.
Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»
On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :
![\exists x, y, z \in E\left[x \mathcal y \and y \mathcal z \and \lnot(x\mathcalz)\right]](http://upload.wikimedia.org/math/b/5/6/b567fdbd7832f7de8a211e41e22fd529.png)
.
On dit alors que la relation binaire est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :
![\forall x, y, z \in E \left[(x \mathcal y \and y \mathcal z) \implies\lnot(x \mathcal z)\right]](http://upload.wikimedia.org/math/6/9/5/6951c8ce600e4cd5383572cd8547a314.png)
.
On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Remarquez que les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables (acune des deux n'entraîne l'autre), et qu'une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y z) vérifiant x R y et y R z).
Sommaire |
[] Exemples
- Les relations = ,
et 
sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si a = b et si b = c alors automatiquement a = c.
- La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.
- De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple,
ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.
- Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans
. Cela veut dire que si ![a \equiv b [2]](http://upload.wikimedia.org/math/3/b/e/3be102d93840d291624dba25c67a1eda.png)
et si ![b \equiv c [2]](http://upload.wikimedia.org/math/7/3/1/7315e61145e9dc26a7a13fca056dfd6f.png)
, alors ![a \equiv c [2]](http://upload.wikimedia.org/math/8/e/8/8e8f712df2598a39ce661ccd850aac0f.png)
.
[] Exemple de non-transitivité
- La relation
n'est pas transitive, c'est-Ã -dire 
et 
ne permet pas de dire que 
.
[] Exemple d'anti-transitivité
- La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a N'est PAS le père de c).
[] Voir aussi
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Transitivité (mathématiques)
