Tore

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Un tore est un solide géométrique représentant un tube courbé refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte :

En ingénierie ou en géométrie élémentaire, un tore désigne un solide de révolution de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface. Les donuts, de nombreux modèles de bouées, ou encore certains joint toriques d'étanchéité ont ainsi une forme plus ou moins torique.
En architecture, un tore correspond à une moulure ronde, semi-cylindrique, entourant le pied d'une colonne ou d'un pilier.
En mathématiques, plus particulièrement en topologie, un tore est un quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie par un réseau, ou tout espace topologique qui lui est homéomorphe. La surface du solide de révolution décrit ci-dessus est généralement homéomorphe à (R/Z)×(R/Z), exception faite des cas de dégénérescence.

[] Le solide de révolution

Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle.

Le tore est également obtenu par recollement des côtés opposés d'un carré

Un tore désigne le volume de l'espace euclidien R³ engendré par la rotation d'un cercle C de rayon r autour d'une droite affine D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acceptation, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.

La forme du tore (plein) dépend du signe de R-r :

Si R < r, le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une citrouille ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, sa surface est une sphère.
Si R = r, le tore est dit « à collier nul ».
si R > r, le tore est dit « ouvert » et ressemble à une chambre à air (exemple francophone) ou à un donut (exemple anglophone).

Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est effectivement une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.

Les trois types de tores : Tore croisé, à collier nul, et ouvert.

[] Aire et volume

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Pour R-r positif ou nul, on a :

Aire du tore : A = 4 ?² r R ;
Volume intérieur du tore : V = 2 ?² r² R.

Les théorème de Gysin permettent de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r).

[] Groupe des isométries

Pour R>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

Les rotations r_u d'axe (supposé orienté) D et d'angle u ;
Le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal à D passant par le centre de C ;
Le retournement b_Q par rapport à tout plan affine Q contenant D ;
La symétrie centrale s par rapport au projeté orthogonal O de C sur D ;
Les symétries axiales par rapport à toute droite passant par O et contenue dans P ;
Les composées d'une rotation r_u par le retournement a.

Evidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S¹ par Z/2Z :

$G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z)$ .

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

r_u correspond à (0,u,0) ;
a correspond à (1,0,0) ;
Pour un plan Q fixé arbitraire, b_Q correspond à (0,0,1).

En particulier, b_{r_u(Q)}=r_ub_Qr_-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,?,0) ; ...

[] Applications

En recherche nucléaire énergétique, dans les réacteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des accélérateurs de particules les synchrotrons
En électricité, la forme idéale du bobinage d'un transformateur est celle du tore.

[] Le tore de dimension n

En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme près. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement noté dans la littérature mathématique Tⁿ, l'espace topologique unique à homéomorphisme près défini comme :

Produit cartésien de n copies du cercle ;
Quotient de Rⁿ par Zⁿ ;
Plus généralement, quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie n par un réseau (ici, sous-groupe additif discret maximal) ;

Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, Tⁿ est une variété différentielle (compacte et connexe de dimension n) ; l'atlas maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tⁿ=E/G se présente naturellement comme une variété plate.

Le groupe fondamental de Tⁿ est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zⁿ.

Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.

[] Voir aussi

Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Sphère - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Tore

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