Théorie des ensembles

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La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIX^e siècle.

La théorie des ensembles définit les notions primitives ensemble et appartenance, à partir desquelles on peut reconstruire les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.

En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor proposait avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'infini que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et cardinaux).

À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée. On découvrit que cette théorie, dite naïve car non formalisée, menait à des paradoxes tels que le paradoxe de Russell, parce qu'elle supposait que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction. Pour répondre à ces problèmes, plusieurs mathématiciens reconstruisirent la théorie des ensembles, en utilisant cette fois une approche formelle qui conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les axiomes de ZF, mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types de Russel.