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L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayer d'étudier un groupe G en le faisant agir sur un espace vectoriel V de manière linéaire : on ainsi de voir G comme un groupe de matrices (d'où le terme représentation). On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de V, arriver à déduire quelques propriétés de G.

Sommaire 1 Quelques définitions 1.1 Définition la plus élémentaire 1.2 Définition plus savante 1.2.1 K-algèbre d'un groupe 1.2.2 Lien avec les représentations 1.3 Morphismes 2 Irréductibilité 2.1 Définitions 2.2 Théorème de Maschke 3 Quelques exemples

[] Quelques définitions

[] Définition la plus élémentaire

Soit G un groupe, K un corps et V un espace vectoriel sur K. On appelle représentation de G un morphisme de groupe de G dans GL(V), autrement dit, d'une application <math> \rho \,:\,G\to GL(V)</math> telle que <math> \rho(g_1)\rho(g_2) = \rho(g_1 g_2)</math>.

On notera parfois <math>\rho(g)(v) </math> <math> \rho(g).v</math> ou même <math> g.v</math> s'il n'y a aucune ambiguïté. On note parfois une représentation <math> (V,\rho)</math>. On dit parfois également (et abusivement) que V est une représentation de G.

On dit que la représentation est fidèle si le morphisme <math> \rho </math> est injectif. Si par ailleurs V est de dimension finie (cas le plus fréquent), cette représentation permet alors de voir G comme un groupe de matrices.

[] Définition plus savante

[] K-algèbre d'un groupe

Notons K[G] le K-espace vectoriel engendré par les éléments de G (c'est à dire l'ensemble des combinaisons linaires formelles finies à coefficients dans K des éléments de G). Un élément générique de K[G] s'écrit

<math> \sum_{g\in G}a_g g </math>

où les <math>a_g</math> sont des éléments de K tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux (la somme est donc finie) et où les lettres g sont à considérer comme des symboles formels.

On peut donner à K[G] une structure d'anneau (et donc de K-algèbre) en le munissant de la loi de multiplication (naturelle) suivante :

<math> \left (\sum_{g\in G}a_g g\right ) \left (\sum_{h\in G}b_h h\right)=\sum_{g, h\in G}a_g b_h (gh) = \sum_{g\in G} \left (\sum_{h,k \in G \mid hk=g} a_h b_k \right ) g </math>

où toutes les sommes sont en faite finies.

K[G] s'appelle la K-algèbre du groupe G.

[] Lien avec les représentations

On peut alors étendre, et ce de façon unique, la représentation <math> \rho</math> à un morphisme de K-algèbres de K[G] vers End(V), en posant <math> \rho(\sum_{g\in G}a_g g) = \sum_{g\in G}a_g \rho(g)</math>. Ceci fait de V un K[G]-module. On dit également que V est un G-module.

Réciproquement, la donnée d'un K[G]-module V fournit une représentation de G.

[] Morphismes

Un morphisme <math>\varphi</math> entre deux représentations <math> (V,\rho)</math> et <math> (W,\sigma)</math> est simplement une application K-linéaire entre V et W telle que pour g appartenant à G on ait <math>\varphi(\rho(g)v) = \sigma(g)\varphi(v)</math>.

On dit alors aussi que <math>\varphi:V\to W</math> est un morphisme G-équivariant.

[] Irréductibilité

[] Définitions

On dit qu'un module V est simple s'il ne contient pas d'autre sous-module que et V.

Si <math> (V,\rho)</math> est une représentation, on dit que cette représentation est irréductible si V est simple en tant que K[G]-module. Formulé autrement, ceci signifie que V n'admet pas de sous-espace vectoriel propre qui soit stable sous l'action de G. En termes matriciels, cela signifie qu'on ne peut pas trouver de base dans laquelle la représentation de G soir donné par des matrices triangulaires supérieures par blocs.

Une représentation est complètement réductible si V est somme directe de sous-espaces stables (par G) irréductibles. En termes de K[G], cela signifie que V peut-être décomposé en somme directe de K[G]-modules simples (on dit alors aussi que V est semi-simple). En termes matriciels, cela signifie qu'on peut trouver une base dans laquelle la représentation de G soit faite par des matrices diagonales par blocs, où chacun des blocs est une représentation irréductible.

Le fait de considérer des modules simples permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, un morphisme entre deux représentations irréductible est soit nul, soit inversible...

On peut souvent ramener l'étude des représentations de G à l'étude de ses représentations irréductibles : si V n'est pas irréductible, on peut toujours considérer un sous-espace vectoriel de V qui soit stable par G. Si jamais V est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.

[] Théorème de Maschke

Si G est fini et si la caractéristique de K est nulle ou ne divise pas card(G), alors tout K[G]-module est semi-simple (ou de façon équivalente toute représentation de G dans K est complètement réductible).

En fait, plus généralement, on peut énoncer un théorème similaire pour les groupes compacts (un groupe fini est toujours compact)et les représentations de groupes topologiques.

[] Quelques exemples

• Commençons par l'exemple le plus trivial : si G est un sous-groupe de GL_n(K), G agit naturellement sur <math> K^n</math>. La représentation associée est appelée représentation standard.

• G agit sur lui-même par multiplication à gauche ; ceci définit une représentation sur K[G]. La représentation associée est appelée représentation régulière. Il est intéressant de noter que si G est un groupe fini, toute représentation irréductible est une sous-représentation de la représentation régulière.

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Théorie de la représentation