eBabylone
.com
|
Un article de Wikipedia.y-project.com.
[] ÉnoncéImage:Théorème de Rolle.png Illustration du théorème de Rolle En analyse, le théorème de Rolle, en référence à Michel Rolle, stipule que pour deux nombres réels a et b tels que :
et <math>f \;</math> une fonction à valeurs réelles continue sur <math>[a,b]\;</math> et dérivable sur <math>]a,b[ \;</math> telle que :
alors il existe (au moins) un élément c de <math>]a,b[ \;</math> tel que :
[] RemarquesLe théorème de Rolle est intuitivement évident. Dire qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle, c'est dire qu'il existe un point où la fonction est plate. Dire que la fonction est dérivable, c'est dire que son graphe ne fait pas d'angle. Les hypothèses nous garantissent par le Théorème des bornes que la fonction a un minimum et un maximum. Il y a donc bien un point c entre a et b tel que f(c) soit un maximum ou un minimum. Sur ce point la fonction est alors plate. Ce théorème permet d'intégrer les nécessaires propriétés topologiques des nombres réels dans l'analyse des fonctions réelles de la variable réelle. Les propriétés topologiques sont intégrées à la démonstration à travers le Théorème des bornes. Le théorème de Rolle ne s'étend pas aux fonctions d'une variable réelle et à valeurs vectorielles. Par exemple, la fonction
[] ApplicationsCe théorème est utilisé pour la démonstration du théorème des accroissements finis qui sert à l'analyse au développement limité d'une fonction et du théorème de Taylor. C'est la raison pour laquelle ce théorème est incontournable dans la construction de l'analyse. Si P est un polynôme réel ayant au moins p racines réelles distinctes (p ? 2), alors son polynôme dérivé a au moins p - 1 racines réelles distinctes. [] HistoireMichel Rolle proposa une première démonstration de ce théorème à la fin de XVIIe siècle. Cependant, à cette époque, ce théorème était algébrique et ne concernait en rien l'analyse. En effet, il n'était imaginé que dans le cadre des polynômes. Deux contemporains de Michel Rolle, Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz, fondent le calcul infinitésimal. Et, personne n'est en mesure de comprendre que ce théorème deviendra plus tard l'un des piliers de l'analyse des fonctions de la variable réelle à valeurs dans les réels. Plus grave encore, Michel Rolle jugea les travaux de calcul infinitésimal comme imprécis et défectueux. Il est vrai que selon nos critères actuels, ou même selon les critères que l'algèbre avait atteints à cette époque, en matière de logique et de formalisation, Michel Rolle avait raison. En revanche, les résultats de Newton et Leibnitz étaient essentiellement justes et surtout fondateur d'une nouvelle approche des plus fécondes dans l'histoire des mathématiques. Il ne s'en rendit compte qu'à la fin de sa vie, mais sans imaginer le destin que pourrait avoir le théorème qui porte désormais son nom. Cette époque n'était pas mûre pour voir apparaître une formalisation rigoureuse de l'analyse. L'absence d'une compréhension profonde de la nature des nombres réels et, en conséquence, du concept de continuité ne permettait pas un progrès aussi rapide. Il fallut donc attendre un siècle et demi pour que l'énoncé de ce théorème soit subtilement modifiée. En 1860 Ossian Bonnet généralise le théorème aux fonctions dérivables. Cette généralisation change du tout au tout le statut de ce théorème. D'un résultat un peu anecdotique sur la théorie des polynômes réels, ce théorème devient une incontournable base de l'analyse réelle. [] DémonstrationSi f est constante, c'est immédiat. Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a, b], elle admet (d'après le théorème des bornes) un minimum global et un maximum global ; compte tenu de ce que f(a) = f(b) et de ce que f n'est pas constante, l'un au moins de ces deux extrema est atteint en un point c appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[ ; or f est dérivable en c, sa dérivée s'y annule donc. [] Voir aussi
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Théorème de Rolle |
Revue de presse Th%E9or%E8me_de_Rolle
Server 2.0