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Théorème de Helmholtz-Hodge
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| Article d'analyse vectorielle | |
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| Objets d'étude | |
| Champ vectoriel | Champ scalaire |
| Équation aux dérivées partielles | |
| de Laplace | de Poisson |
| Opérateurs | |
| Nabla | Gradient |
| Rotationnel | Divergence |
| Laplacien scalaire | Bilaplacien |
| Laplacien vectoriel | D'alembertien |
| Théorèmes | |
| de Green | de Stokes |
| de Helmholtz | de flux-divergence |
| du gradient | du rotationnel |
Le théorème de Helmholtz-Hodge est un théorème d'analyse vectorielle qui exprime la décomposition d'un champ vectoriel en une partie « polaire » et une partie « axiale ».
Théorème de Helmoltz ? Soit un champ de vecteurs 
« créé » par une source scalaire ?(M) (sa divergence) et par une source de vortex 
(son rotationnel), sources dont les supports sont compacts, ( soit (D) le domaine qui les borne) ; et une condition aux limites : le champ s'annule à l'infini comme O(1 / r2). Alors les conditions :
,
,- s'annule à l'infini,
entraînent 
, où
Les notations sont issues de l'électrostatique et de la magnétostatique. Évidemment, le théorème s'applique aussi en mécanique des fluides, en sismologie, etc.
[] Démonstration de la décomposition
On donnera ici la démonstration plus précise pour un domaine compact (D), avec B(M) parallèle à la frontière de (D). Alors :
Théorème ? V(M) se décompose de manière unique en E(M) + B(M).
Lemme d'orthogonalité sur (D) ? Les deux composantes sont orthogonales sur (D).
-
- En effet, on pose
;
- c'est possible puisque son rotationnel est nul. Alors puisque
,
- il s'ensuit par le théorème de flux-divergence que :
Lemme d'unicité ? La décomposition en B(M) et E(M) est unique.
- Démonstration par l'absurde : prendre la différence des 2 champs V1 et V2 et prendre sur (D) son produit scalaire avec B1-B2 : il va rester en vertu du lemme précédent uniquement la norme sur (D) de B1-B2, nulle : donc B1(M) = B2(M) et donc p1(M) = p2(M).
Lemme d'existence ? La divergence de V(M) est le laplacien de p(M) ; et sur la frontière V(Q).n(Q) donne une condition de Neumann sur p(Q) : le problème est donc un problème de Neumann, et donc p(M) existe et est unique, donc E(M) existe et est unique, donc sa différence avec V(M) soit -B(M) existe et est unique. 
[] Formule d'Helmholtz
Le problème de la frontière est reporté à une sphère de très grand rayon que l'on fait tendre vers l'infini. En tout point Q de cette frontière, B(Q) est quasiment nul , donc la condition précédente est valable. Quant à l'intégrale sur la frontière , avec B(Q) qui décroît comme 1/r³ , l'intégrale est majorée par K/r qui tend vers zéro. Le théorème précédent s'applique aussi au cas d'Helmholtz.
Le problème est linéaire : on ajoute donc la solution « électrostatique » et la solution « magnétostatique ».
[] Voir aussi
- Analyse vectorielle et les articles s'y référant.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème de Helmholtz-Hodge
