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Un article de Wikipedia.y-project.com.Le théorème de Banach-Steinhaus (aussi appelé Principe de la borne uniforme) fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Il a été publié en 1927 par Stefan Banach et Hugo Steinhaus, mais il a aussi été prouvé indépendemment par Hans Hahn. Il affirme que pour une famille d'applications linéaires continues définies sur un espace de Banach est uniformément bornée si et seulement si elle est ponctuellement bornée. C'est une conséquence très importante de la propriété de Baire, qui se généralise d'ailleurs aux espaces de Fréchet.
[] ÉnoncéSoit <math>E</math> un espace de Banach et <math>F</math> un espace vectoriel normé. On considère une famille <math>(f_i)_{i \in I}</math> d'applications linéaires continues de <math>E</math> dans <math>F</math>. On suppose que cette famille est ponctuellement bornée, c'est-à -dire :
Alors <math>(f_i)_{i \in I}</math> est uniformément bornée, c'est-à -dire qu'il existe une constante <math>K</math> telle que :
[] DémonstrationLa preuve repose sur le fait qu'un espace de Banach est un espace de Baire, c'est-à -dire que toute réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide. Considérons <math>A_n</math> l'ensemble des éléments de <math>E</math> tels que <math>\forall i \in I, ||f_i(x)|| \leq n</math>.
<math>A_n</math> est une intersection de fermés, c'est donc un fermé. La famille <math>(f_i)_{i \in I}</math> est ponctuellement bornée, cette hypothèse se traduit par l'égalité ensembliste :
Comme <math>E</math> n'est pas d'intérieur vide, il existe <math>n_0 \in \mathbb</math> tel que <math>A_</math> ne soit pas d'intérieur vide : il contient une boule de centre <math>a</math> et de rayon <math>r > 0</math>. Prenons un point <math>x</math> de <math>E</math> situé dans la boule unité fermée :
c'est-à -dire : <math>(f_i)_{i \in I}</math> est uniformément bornée. [] Corollaire importantMentionnons un corrolaire très important du théorème de Banach-Steinhaus : si <math>(f_n)</math> est une suite d'applications linéaires continues de l'espace de Banach <math>E</math> dans l'espace vectoriel normé <math>F</math> qui converge simplement vers une fonction <math>f</math>, alors <math>f</math> est également une application linéaire continue. En effet, la linéarité provient d'un simple passage à la limite. Et pour tout <math>x \in E</math>, <math>(f_n(x))</math> converge, c'est donc une suite bornée, et le théorème de Banach-Steinhaus affirme que <math>(f_n)</math> est uniformément bornée. <math>(f_n)</math> est bornée en norme subordonnée par une constante <math>C</math>, et par passage à la limite des inégalités <math>f</math> est bornée de norme subordonnée inférieure à <math>C</math>. [] ExempleSoit E l'espace des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles, muni de la norme <math>\| f \|_\infty = \int_0^1 |f(t)| dt</math>, et F = <math>\mathbb R</math>. Pour chaque entier i, soit ui l'opérateur défini par : <math>{u_i(f) \over i}</math> n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0,1] en i intervalles égaux. Cette erreur est un <math>O({1 \over i})</math> pour les fonctions C1 ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que <math> \| u_i \| = 2i </math>, de sorte que <math> \sup_{i\in I} \| u_i \| = + \infty </math> et donc que le complémentaire de A est dense. Une fonction f appartenant à ce complémentaire vérifie donc <math> \sup_{i\in I} \|u_i(f)\| = + \infty </math>, ce qui signifie que l'ensemble <math>u_i(f)</math> n'est pas borné et donc que l'erreur commise <math>{u_i(f) \over i}</math> n'est pas un <math>O({1 \over i})</math>. Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive. [] Voir aussi
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Théorème de Banach-Steinhaus |
Revue de presse Th%E9or%E8me_de_Banach-Steinhaus
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