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Seconde forme fondamentale

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En géométrie différentielle, la seconde forme fondamentale, notée II, est une forme quadratique sur l'espace tangent de l'hypersurface d'une variété riemannienne.

Sommaire

[] Définition

En notant \nabla_v w la dérivée covariante et n un ensemble de vecteurs normaux à l'hypersurface, on a :

\mathrm I\!\mathrm I(v,w)= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle.

Le signe de la seconde forme fondamentale dépend du choix de la direction de n (la co-orientation de l'hypersurface).

On peut généraliser le concept de seconde forme fondamentale aux espaces de codimension arbitraire. Dans ce cas, c'est une forme quadratique sur l'espace tangent, à valeurs dans le fibré normal :

\mathrm\!\mathrm(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

avec (\nabla_v w)^\bot la projection orthogonale de la dérivée covariante \nabla_v w sur le fibré normal.

[] Espaces euclidiens

Dans les espaces euclidiens, le tenseur de courbure d'une sous-variété peut être décrit par l'équation de Gauss :

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

[] Variétés riemanniennes

Pour une variété riemannienne quelconque, on doit ajouter la courbure de l'espace ambiant. Si N est une variété incluse dans une variété riemannienne (M,g), alors le tenseur de courbure RN de N avec métrique induite peut être exprimé à partir de la seconde forme fondamentale et de RM, le tenseur de courbure de M :

\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

[] Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d?une traduction de l?article de Wikipédia en anglais intitulé « Second fundamental form ».

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Seconde forme fondamentale
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