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Un article de Wikipedia.y-project.com.La notion de relation d'équivalence sur un ensemble permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient.
[] Définition[] Définition formelleUne relation d'équivalence <math>\mathcal R\,</math> dans un ensemble E est une relation binaire dans cet ensemble , réflexive , symétrique et transitive.
[] Définition équivalenteOn peut aussi définir une relation d'équivalence comme une relation binaire réflexive et circulaire. Une relation binaire est circulaire ssi toute image d'une image d'un élément de E est antécédent de cet élément, c'est-à -dire si :
[] Classe d'équivalenceConsidérons un ensemble E muni d'une relation d'équivalence <math>\mathcal R\,</math>. La classe d'équivalence d'un élément x de E , notée « <math>\mathcal R</math>( x ) » , est alors l'ensemble des images de x par <math>\mathcal R\,</math> :
On déduit de ce qui précède que l'ensemble des classes d'équivalence de E forme une partition de E. Inversement, toute partition d'un ensemble y définit une relation d'équivalence. On peut établir une bijection canonique entre les partitions d'un ensemble et les relations d'équivalence dans cet ensemble. Enfin, la restriction d'une relation d'équivalence à l'une de ses classes d'équivalence est une relation pleine. [] Ensemble quotient[] DéfinitionL' ensemble quotient de E par la relation d'équivalence <math>\mathcal R</math> , noté « <math> E / \mathcal R</math> » , est l'ensemble des classes d'équivalence de E suivant <math>\mathcal R</math> :
L'ensemble quotient est donc un nouvel ensemble construit à partir de E et de <math>\mathcal R</math>. C'est un sous-ensemble de <math>\mathfrak P</math> ( E ) , ensemble des parties de E. Remarque : on peut munir un univers d'une relation d'équivalence. On peut même y définir des classes d'équivalence, mais elles peuvent être elles-mêmes des univers, ce qui interdit l'existence d'un ensemble quotient dans ce cas ( exemple : la relation d'équipotence dans l'univers des ensembles ). L'ensemble quotient peut aussi être désigné comme « l'ensemble E quotienté par <math>\mathcal R</math> » ou « l'ensemble E considéré modulo <math>\mathcal R</math> ». L'idée derrière ces appellations est de travailler dans l'ensemble quotient comme dans E , mais sans distinguer entre eux les éléments équivalents selon <math>{\mathcal R}</math>. [] ExempleL'ensemble des entiers relatifs peut être muni de la relation "a le même signe que" (comprise au sens strict). Il y a trois classes d'équivalence : l'ensemble <math>\mathbb Z_+^*</math> des entiers strictement positifs, l'ensemble <math>\mathbb Z_-^*</math> des entiers strictement négatifs, le singleton . On peut noter ces trois classes respectivement (+),(-) et (0). On connaît la "règle des signes" pour le produit de deux entiers relatifs : elle montre que si on sait dans quelle classe d'équivalence se trouvent x et y, le produit xy se trouve dans une classe bien déterminée. Par exemple si x est dans (+) et y dans (0), alors xy est dans (0). Formellement on peut le noter (+).(0)=(0). De même (+).(-)=(-), ou encore (+).(+)=(+), (-).(-)=(+) etc. Ceci est un exemple simple de loi-quotient. Mais avec cet exemple on ne peut pas "faire passer au quotient" la loi + : que dire de la somme d'un élément de (+) et d'un élément de (-) ? Pour savoir si les lois et les propriétés de structure sont compatibles avec le passage au quotient, il est utile d'introduire le concept de surjection canonique. [] Surjection canoniqueIl existe une surjection canonique s de E dans l'ensemble quotient, qui à chaque élément de E associe sa classe d'équivalence :
s est une application puisque tout élément de E appartient à une et une seule classe d'équivalence; s est surjective puisqu'aucune classe d'équivalence n'est vide. s n'est pas en général injective, mais on a :
Cette surjection est ainsi une bijection ssi la relation d'équivalence concernée n'est autre que la relation d'égalité. [] Structure quotientGrâce à la surjection s , si E est muni d'une structure, il est possible de transférer cette dernière à l'ensemble quotient, sous réserve que la structure soit compatible avec la relation d'équivalence, c'est-à -dire que deux éléments de E se comportent de la même manière vis-à -vis de la structure s'ils appartiennent à la même classe d'équivalence. L'ensemble quotient est alors muni de la structure quotient de la structure initiale par la relation d'équivalence. Par exemple, si E est muni d'une structure de groupe, il est possible, dans certains cas, de parler du groupe quotient <math> E / \mathcal R</math>. [] Exemples
[] Voir aussiLa source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Relation d\'équivalence |
Revue de presse Relation_d'%E9quivalence
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