Produit tensoriel de deux modules

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Articles scientifiques
sur les tenseurs

Mathématiques

Tenseur
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre tensorielle
Champ tensoriel
Espace tensoriel

Physique

Convention d'Einstein
Tenseur métrique
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations

[] Introduction - applications bilinéaires

Lorsque M, N et F sont trois modules sur un même anneau commutatif unitaire A, on appelle application bilinéaire une application f : M × N ? F, telle que :

f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que $\forall \alpha, \beta \in A, \forall x, y \in M, \forall z \in N, f(\alpha x + \beta y,z) = \alpha f(x,z) + \beta f(y,z)$ .
f est linéaire à droite, c'est-à-dire que $\forall \alpha, \beta \in A, \forall x \in M, \forall y, z \in N, f(x, \alpha y + \beta z) = \alpha f(x,y) + \beta f(x,z)$ .

Les applications bilinéaires sont des objets mathématiques compliqués, c'est pourquoi on peut être tenté de ramener le problème des applications bilinéaires à celui des applications linéaires. En d'autres termes, existe-t-il un module $M \otimes N$ tel que :

Il existe une application bilinéaire $\varphi : M \times N \to M \otimes N$
Toute application bilinéaire $f : M \times N \to F$ se factorise à droite par $\varphi$ , c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire $g : M \otimes N \to F$ telle que $f = g \circ \varphi$ .
Par ailleurs, on remarque que le sous-module ?(M × N) de $M \otimes N$ vérifie les deux propriétés précédentes, on peut donc supposer, quitte à restreindre l'espace d'arrivée de ?, que ? est surjective. On rajoute donc cette condition.

Sous ces trois conditions, on peut prouver qu'un tel module $M \otimes N$ existe et est unique à isomorphisme près.

[] Définition

Soit M et N deux modules sur un même anneau commutatif unitaire A. L'espace $C = A^{(M \times N)}$ est le A-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M × N. C est un A-module libre dont $(e_)_{(x,y) \in M \times N}$ est la base canonique.

On souhaite que les éléments de la forme

$e (x + y, z) ? e (x, z) ? e (y, z)$
$e (x, y + z) ? e (x, y) ? e (x, z)$
$e (? x, y) ? ? e (x, y)$
$e (x,? y) ? ? e (x, y)$

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et on note $M \otimes_A N$ le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note $x \otimes y$ la classe de $e (x, y)$ dans $M \otimes_A N$ .

Réponse à la question initiale

La construction du produit tensoriel permet d'affirmer que $(x,y) \mapsto x \otimes y$ est une application bilinéaire, que l'on note $\varphi : M \times N \to M \otimes_A N$ .

Montrons que ce module résout bien le problème des applications bilinéaires posé en introduction. Pour cela, donnons-nous une application bilinéaire $f : M \times N \to F$ . Comme le module C est libre, définir une application linéaire de C dans F revient à choisir l'image des éléments de la base canonique de C. On définit ainsi l'application $\overline$ par :

$\forall (x,y) \in M \times N, \overline(e_) = f(x,y)$

Mais, le fait que f soit bilinéaire implique que :

$\overline(e_ - e_ - e_) = 0$
$\overline(e_ - e_ - e_) = 0$
$\overline(e_{(\alpha x, y)} - \alpha e_) = 0$
$\overline(e_{(x, \alpha y)} - \alpha e_) = 0$

Donc le sous-module D est inclus dans le noyau de f. On déduit par passage au quotient qu'il existe une application $g : M \otimes_A N = C/D \to F$ telle que :

$f(x,y) = g(x \otimes y) = g \circ \varphi(x,y)$

De plus g est unique car les éléments de la forme $x \otimes y$ engendrent $M \otimes_A N$ .

Montrons finalement que $M \otimes_A N$ est unique à un isomorphisme près, c'est-à-dire que s'il existe un module H tel que :

Il existe une application bilinéaire surjective $\varphi' : M \times N \to H$ .
Si f : M × N ? F est une application bilinéaire, il existe une unique application linéaire g : H ? F telle que $f = g \circ \varphi'$ .

Si tel est le cas, comme $\varphi : M \times N \to M \otimes_A N$ est bilinéaire, il existe une application $u_1 : H \to M \otimes_A N$ telle que $\varphi = u_1 \circ \varphi'$ . De même, comme $\varphi' : M \times N \to H$ est bilinéaire, il existe une application $u_2 : M \otimes_A N \to H$ telle que $\varphi' = u_2 \circ \varphi$ . Donc $\varphi = u_1 \circ u_2 \circ \varphi$ et comme $\varphi$ est surjectif, on déduit $u_1 \circ u_2 = id$ . De même $u_2 \circ u_1 = id$ . Donc $M \otimes_A N$ et $H$ sont des A-modules isomorphes.

[] Généralisation à un produit fini de modules

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit $E_1, \dots E_n$ n modules sur un même anneau commutatif unitaire $A$ . On considère le module produit $E = E_1 \times \cdots \times E_n$ . Une application f : E ? F est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n - 1 éléments $x_k \in E_k (k \neq i)$ , l'application partielle $x_i \mapsto f(x_1, \dots, x_, x_i, x_, \dots, x_n)$ est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note $\bigotimes_^n E_i$ et une application n-linéaire surjective $\varphi : (x_1, \dots, x_n) \mapsto x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n$ de E dans $\bigotimes_^n E_i$ telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire $g : \bigotimes_^n \to F$ telle que $f = g \circ \varphi$ .

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois modules sur un anneau commutatif unitaire A, alors les modules $(E \otimes_A F) \otimes_A G$ , $E \otimes_A (F \otimes_A G)$ et $E \otimes_A F \otimes_A G$ sont isomorphes.

v · d · m Algèbre commutative
Algèbre ? Anneau commutatif ? Anneau euclidien ? Anneau factoriel ? Anneau noethérien ? Anneau principal ? Annulateur ? Bimodule ? Corps des fractions ? Dual d'un module ? Facteur direct ? Idéal ? Longueur d'un module ? Module ? Module simple ? Module fidèle ? Module libre ? Module monogène ? Module quotient ? Module semi-simple ? Produit tensoriel ? Puissance extérieure

Portail des mathématiques

Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit tensoriel de deux modules

eBabylone
.com

Flickr Badge Produit

Produit tensoriel de deux modules

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[] Introduction - applications bilinéaires

[] Définition

[] Généralisation à un produit fini de modules

Réagissez

eBabylone .com

Flickr Badge Produit

Produit tensoriel de deux modules

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[] Introduction - applications bilinéaires

[] Définition

[] Généralisation à un produit fini de modules

Réagissez

eBabylone
.com