Problème de Napoléon

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En géométrie plane, le problème de Napoléon consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné. On attribue souvent ce problème et sa démonstration à Napoléon I^er, mais il n'est pas sûr que cette démonstration soit de lui. Certes, il est connu pour son goût pour les mathématiques et sa formation d'artilleur lui permet d'en maîtriser les rouages. Cependant, à la même époque, l'Italien Lorenzo Mascheroni publie sa Géométrie du compas ouvrage dans lequel il étudie justement les constructions au compas seul.

[] Construction

Soit le cercle $\mathcal C$ dont on veut déterminer le centre. Soit un point A de $\mathcal C$ .

Un cercle $\mathcal C_1$ centré en A rencontre $\mathcal C$ en B et B'.

Deux cercles $\mathcal C_2$ centrés en B et B' et passant par A se rencontrent au point C.

Un cercle $\mathcal C_3$ centré sur C et passant par A rencontre $\mathcal C_1$ en D et D'

Deux cercles $\mathcal C_4$ centrés en D et D' et passant par A se rencontrent au centre de $\mathcal C$ .

Remarque: il est nécessaire, pour que la construction soit réalisable, de prendre pour le rayon du cercle $\mathcal C_1$ , une quantité ni trop grande, ni trop petite. Plus précisément, il faut que ce rayon soit compris entre la moitié et le double du rayon du cercle $\mathcal C$ .

[] Démonstration

Le principe de la démonstration est la possibilité de construire au compas seul la longueur b²/a si les longueurs a et b sont connues.

La démonstration s'appuie sur les propriétés du triangle rectangle. Dans la figure ci-jointe, le triangle ABA' est rectangle en B et H est le pied de la hauteur issue de B, on peut donc écrire l'égalité suivante :

AH × AA' = AB²

Donc $AH = \frac$ et $AC = \frac$

Dans la construction précédente, on retrouve deux fois une configuration de ce type :

les points A, B et B' sont sur le cercle de centre O et de rayon r, les distances AB, AB', BC et B'C valent R donc $AC = \frac$
les points A, D et D' sont sur le cercle de centre C et rayon $\frac$ , les distances DA, D'A, DX, D'X valent R donc $AX = \frac= r$ .