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En mathématiques, une primitive d'une fonction f d'une variable réelle est une fonction F telle que pour tout x, F?(x)=f(x).

Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors pour tout réel k, une primitive de kf sur l'intervalle I est kF.

Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f+g est F+G.

Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante :
si F₁ et F₂ sont deux primitives de f, alors il existe un réel k₀ tel que F₁=F₂+k₀.

Si F est une primitive de f, alors

<math>F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\cdot dx</math>

Sommaire 1 Exemples 2 Calcul automatique 2.1 Recapitulatif de formules des primitives 2.1.1 Fonctions simples 2.1.2 Fonctions composées 3 Voir aussi

[] Exemples

Polynômes et fractions rationnelles

• Une primitive de la fonction ?(x) = 2·x est F(x) = x ²
• Une primitive de la fonction g(x) = 4·x³ est G(x) = x ⁴
• Une primitive de la fonction (?+g)(x) = 2·x + 4·x ³ est (F + G)(x) = x ² + x ⁴
• Une primitive de la fonction ?(x) = x ⁿ est <math>\frac \cdot x^</math> pour n réel différent de -1.
• Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
• Une primitive de la fonction inverse ?(x) = 1/x est la fonction logarithme népérien ln(x).
• Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle.

Fonctions trigonométriques

• Une primitive du cosinus est la fonction sinus.
• Une primitive du sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

[] Calcul automatique

Des logiciels comme Maple ou Mathematica savent depuis quelques années calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

[] Recapitulatif de formules des primitives

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche sa primtive, la deuxième est son domaine de dérivation et la troisième, la primitive correspondante à la fonction.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche sa primtive et la seconde, la primitive correspondante à la fonction

[] Fonctions simples

Tableau des primitives simples

f(x)	<math>D_D</math>	F(x)
<math></math>	<math>\mathbb </math>	<math></math>
<math></math>	<math>\mathbb </math>	<math>\frac+bx+C</math>
<math>x^n</math> <math>(\forall \in \mathbb</math>et <math>n\ne-1</math>)	<math>\mathbb </math>	<math>\frac }+C</math>
<math>\sqrt</math>	<math>\mathbb }</math>	<math>\frac 2 3 x\sqrt +C</math>
<math>\frac </math>	<math>\mathbb </math>	<math>\ln +C</math>
<math>\frac }</math>	<math>\mathbb }</math>	<math>\sqrt+C</math>
<math>- \frac </math>	<math>\mathbb </math>	<math> \frac +C</math>
<math>\sin </math>	<math>\mathbb </math>	<math>-\cos +C</math>
<math>\cos </math>	<math>\mathbb </math>	<math>\sin +C</math>
<math>\frac }</math>	<math>\mathbb </math>- +k\pi</math>}	<math>\tan +C</math>
<math>-\frac } </math>	<math>\mathbb </math>-	<math>\operatorname +C</math>
<math>e^x</math>	<math>\mathbb </math>	<math>e^x+C</math>
<math>\ln +C</math>	<math>\mathbb </math>	<math>x\ln - x + C</math>

[] Fonctions composées

Soit u et v deux fonctions

Tableau des primitives composées

f(x)	F(x)
<math>\lambda u^\prime</math>	<math>\lambda u + C</math>
<math>u^\prime + v^\prime</math>	<math>u+v+C</math>
<math>-\frac</math>	<math>\frac +C</math>
<math>(u^n)\times(u^\prime)</math>	<math>\frac }+C</math>
<math>\frac }</math>	<math>\sqrt +c</math>
<math>\sin u \times u^\prime</math>	<math>\cos u+C</math>
<math>\cos(\omega x+\varphi)</math>	<math>\frac\sin(\omega x+\varphi)</math>
<math>\sin(\omega x+\varphi)</math>	<math>-\frac\cos(\omega x+\varphi)</math>
<math>\left\ (v\circ u)^\prime \\ v^\prime(u) \times (u^\prime)\end\right. </math>	<math>(v\circ u)+C</math>
<math>\frac</math>	u|+C</math>
<math>e^u \times u^\prime</math>	<math>e^+C</math>
<math>\left\ \tan x \\ \frac{\sin }{\cos }\end\right. </math>	\cos |+C</math>

[] Voir aussi

• Intégrale
  • Table d'intégrales
  • Calcul intégral
  • Calcul numérique d'une intégrale
• Primitive
  • Table de primitives

lt:Pirmyk?t? funkcija  

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Primitivation