Polytope

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Un polytope en dimension 3

Le terme polytope admet plusieurs définitions au sein des mathématiques. Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays. On retrouve ce genre de problème pour les définitions des faces et des facettes d'un polyèdre (pour un polyèdre de dimension n, Bourbaki définit les facettes comme les faces de dimension <n-1, le suffixe faisant penser à la petitesse, alors que les américains définissent une facette comme une face de dimension n-1, comme on dit en français d'ailleurs pour les facettes d'un diamant).

Le point sûr est qu'un polytope est une sorte de polyèdre.

L'usage le plus répandu veut que, dans l'espace Euclidien $\mathbb R^n$ , on distingue le polyèdre du polytope de la manière suivante. Le polyèdre $P$ est un sous-espace défini par des hyperplans, i.e.

$P=\{x\in \mathbb R^n:\, Ax\le b\}$ ,

où $A \in \mathbb R^{m\times n}$ et $b \in \mathbb R^m$ ; tandis que le polytope $\bar P$ est une enveloppe convexe, i.e.

$\bar P=\{x\in \mathbb R^n:\, x=\sum_i \lambda_i x_i,\, \sum_i \lambda_i=1,\, \lambda_i \ge 0\}$ ,

où $x_i \in \mathbb R^n$ et $\lambda_i \in \mathbb R$ pour un certain nombre fini d'indices $i$ .

Un résultat fondamental (Minkowski 1896, Steinitz 1916, Weyl 1935) établit que

Tout polytope est un polyèdre borné.

Ce résultat est essentiel pour l'approche polyèdrale en optimisation combinatoire.

Toutefois on trouvera aussi la distinction suivante entre le polytope et le polyèdre. On entend parfois en géométrie, polytope comme la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Quoiqu'il en soit, en général on suppose qu'un polytope est convexe et borné. Le plus simple que l'on puisse construire est le simplexe constitué de n+1 sommets dans un espace de dimension n. Pour toute enveloppe convexe dans un espace de dimension n, on peut prendre des sous-ensembles de sommets linéairements indépendants et définir des n-simplexes à partir de ces sommets. Il est toujours possible de décomposer un polytope convexe en simplexes de sorte que leur union soit le polytope original, et que leurs intersections deux à deux soient l'ensemble vide ou un s-simplexe (avec s < n). Par exemple : dans le plan, un carré (l'enveloppe convexe de ses sommets) est l'union de deux triangles (2-simplexes) dont l'intersection est la diagonale du carré (1-simplexe).

Les polyèdres réguliers étaient un sujet d'étude majeur chez les anciens mathématiciens grecs (principalement Euclide), probablement à cause de leurs qualités esthétiques. De nos jours, ont les retrouvent dans de nombreuses applications dans les domaines de la programmation linéaire ou en infographie notamment. Le terme de polytope a été inventé par Alicia Boole Stott, la fille du logicien George Boole.

Parmi les polytopes, on peut citer le Polytope de Gosset, qui illustre une des propriétés du Groupe de Lie E8.

[] Références

H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, New York: Dover Publications, (1973), ISBN 978-0-486-61480-9.
H. Minkowski, Geometrie der Zahlen (erste lieferung), Teubner, Leipzig, 1896.
E. Steinitz, Bedingt konvergent Reihen und konvexe system (shluss), Journal für de reine und angewandte mathematik 146 (1916) 1-52.
H. Weyl, Elementare theorie des konvexen polyedre, Commentarii mathematici helvetici 7 (1935) 290-306.

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