Nombre réel calculable

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En informatique et algorithmique, un nombre réel calculable est un réel pour lequel il existe un algorithme ou une machine de Turing permettant d'énumérer tous les chiffres de son développement décimal. Cette notion a été mise en place et développée par Turing.

L'ensemble des réels calculables est un corps dénombrable contenant tous les nombres algébriques, mais aussi d'autres constantes comme ? ou ?, et contenu dans l'ensemble des nombres définissables. Cependant, il existe des réels définis non calculables, un des plus célèbres est la constante Oméga de Chaitin, mais il y a aussi les nombres définis par le castor affairé.

[] Construction de nombres calculables

Tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels; ainsi s'il est possible d'expliciter un terme général pour une telle suite, le nombre qui en est la limite est calculable.

On sait par exemple que:

$\pi =4 \sum_{k = 0}^\frac}$

Il est donc possible de déterminer des rationnels approchant ? avec une précision arbitraire (la théorie sur les séries alternées permet même de savoir pour quel entier m il faut calculer $\pi =4 \sum_{k = 0}^\frac}$ pour avoir un nombre donné de décimales exactes).

Mieux, tout nombre donné par une suite explicite à partir de nombres dont on a déjà montré qu'ils sont calculables l'est également. Par exemple non seulement $e$ est calculable car $e = \sum_{n = 0}^ {1 \over n!}$ mais $e ?$ l'est également car $e^\pi = \sum_{n = 0}^ {\pi^n \over n!}$

Donc pour toute fonction calculable, l'image d'un nombre calculable est un nombre calculable. (par exemple le cosinus d'un rationnel donné est calculable).

Mais en revanche, si on sait que $e^\Omega = \sum_{n = 0}^ {\Omega^n \over n!}$ , $e ?$ n'en est pas calculable pour autant puisque ? ne l'est pas (d'ailleurs $e ?$ n'est pas calculable sinon $? = l o g (e ?)$ le serait).

Comme les réels calculables forment un corps et qu'ils incluent les nombres rationnels et algébriques ainsi que ?, $\mathbb Q(\pi)$ ou même $\mathbb A(\pi)$ sont des exemples de sous-corps du corps des nombres calculables (l'ensemble des valeurs prises par les fractions rationnelles à coefficients rationnels, respectivement algébriques, en ?).

Oméga n'est ni un nombre rationnel ni un nombre algébrique ni un nombre calculable.
Il est en revanche définissable, imprédictible et incompressible.

[] Nombre complexe calculable

Par extension, on appelle nombre complexe calculable un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont simultanément calculables.

[] Bibliographie

Alan Turing et Jean-Yves Girard, La machine de Turing, Editions du Seuil Paris, 1995
On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, series 2, 1936, vol 42, pp.230-265 (version en ligne)
Klaus Weihrauch, Computable analysis: an introduction, Springer, Texts in theoretical computer science, ISBN 3-540-66817-9 (version en ligne)

[] Liens internes

Analyse constructive

[] Liens externes

http://deptinfo.unice.fr/~fedou/ENSEIGNEMENT/OFI/GODEL/index.html

Notion de nombre
Ensembles usuels		Propriétés particulières
? ensemble des entiers naturels ? groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ? corps des rationnels ? corps des réels ? corps des complexes		positif ou négatif pair ou impair premier ou composé parfait figuré dyadique irrationnel algébrique ou transcendant imaginaire pur nombre de Liouville nombre normal constructible calculable transfini
$\scriptstyle\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb \sub\mathbb$
Extensions
? algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions ?_p corps des p-adiques classe des ordinaux classe des cardinaux classe des hyperréels classe des surréels
Quelques nombres d'importance historique
?	: constante d'Archimède	(?3,141592654?)
$? 2$	: racine carrée de deux	(?1,414213562?)
?	: nombre d'or	(?1,618033989?)
0	: zéro
e	: constante de Neper	(?2,718281828?)
$i$	: unité imaginaire	de carré égal à ?1
?₀	: aleph-zéro	premier cardinal infini
?	: omega	premier ordinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre et numération chiffre significatif		calcul ? infini

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Nombre réel calculable

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