Nabla

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Nabla, noté $\nabla$ , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence ( $?\cdot A$ ), le rotationnel ( $?\times A$ ) et le laplacien vectoriel ( $?A = ?² A$ ) d'un champ vectoriel $A$ , ainsi que le gradient ( $?f$ ) et le laplacien ( $?f = ?²f$ ) d'un champ scalaire $f$ . Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme et en hydrodynamique.

Sommaire

1 Origine historique
2 Utilisation en analyse vectorielle
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Liens externes

[] Origine historique

La forme de Nabla vient d'un delta ( $?$ ) renversé, à cause d'une utilisation comparable (calcul différentiel), elle a été introduite par Peter Guthrie Tait en 1867. D'abord surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.

[] Utilisation en analyse vectorielle

Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées.

**Table avec les $\nabla$ (**nabla** ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques**
Opération	Coordonnées cartésiennes (x,y,z)	Coordonnées cylindriques (?,?,z)	Coordonnées sphériques (r,?,?)
Définition des coordonnées		$\begin x = \rho\cos\phi \\ y = \rho\sin\phi \\ z = z \end$	$\begin x = r\sin\theta\cos\phi \\ y = r\sin\theta\sin\phi \\ z = r\cos\theta \end$
$\overrightarrow A$	$A_x\overrightarrow + A_y\overrightarrow + A_z\overrightarrow$	$A_\rho\overrightarrow \rho + A_\phi\overrightarrow \phi + A_z\overrightarrow z$	$A_r\overrightarrow r + A_\theta\overrightarrow \theta + A_\phi\overrightarrow \phi$
$\overrightarrow\nabla f = \overrightarrow} f$	${\partial f \over \partial x}\overrightarrow + {\partial f \over \partial y}\overrightarrow + {\partial f \over \partial z}\overrightarrow$	${\partial f \over \partial \rho}\overrightarrow \rho + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \phi}\overrightarrow \phi + {\partial f \over \partial z}\overrightarrow z$	${\partial f \over \partial r}\overrightarrow r + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\overrightarrow \theta + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\overrightarrow \phi$
$\overrightarrow\nabla\cdot\overrightarrow A = \mathrm \overrightarrow$	${\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over \rho}{\partial \rho A_\rho \over \partial \rho} + {1 \over \rho}{\partial A_\phi \over \partial \phi} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over r^2}{\partial r^2 A_r \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\theta\sin\theta \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}$
$\overrightarrow\nabla \wedge \overrightarrow A = \overrightarrow} \overrightarrow$	$\begin ({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}) \overrightarrow & + \\ ({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}) \overrightarrow & + \\ ({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}) \overrightarrow & \ \end$	$\begin ({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \phi} - {\partial A_\phi \over \partial z}) \overrightarrow \rho & + \\ ({\partial A_\rho \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial \rho}) \overrightarrow \phi & + \\ {1 \over \rho}({\partial \rho A_\phi \over \partial \rho} - {\partial A_\rho \over \partial \phi}) \overrightarrow z & \ \end$	$\begin {1 \over r\sin\theta}({\partial A_\phi\sin\theta \over \partial \theta} - {\partial A_\theta \over \partial \phi}) \overrightarrow r & + \\ ({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {1 \over r}{\partial r A_\phi \over \partial r}) \overrightarrow \theta & + \\ {1 \over r}({\partial r A_\theta \over \partial r} - {\partial A_r \over \partial \theta}) \overrightarrow \phi & \ \end$
$\Delta f = \overrightarrow\nabla^2 f$	${\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \phi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}$
$\Delta \overrightarrow A = \overrightarrow\nabla^2 \overrightarrow A$	$\Delta A_x\overrightarrow + \Delta A_y\overrightarrow + \Delta A_z\overrightarrow$	$\begin \overrightarrow c \rho(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} - {2 \over \rho^2}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \overrightarrow \phi(\Delta A_\phi - {A_\phi \over \rho^2} + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \phi}) & + \\ \overrightarrow z \Delta A_z & \ \end$	$\left(\Delta A_r - \frac{2 A_r} - \frac{2 A_\theta\cos\theta} - \frac \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\right)\overrightarrow$ $+\left(\Delta A_\theta - \frac + \frac\frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\right)\overrightarrow$ $+\left(\Delta A_\phi - \frac + \dfrac\frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \frac{2 \cos\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \phi}\right)\overrightarrow$
Règles de calcul non évidentes: $\mathrm\overrightarrow =\overrightarrow \nabla\cdot\overrightarrow$ $\operatorname\ \overrightarrow} f = \overrightarrow \nabla \cdot (\overrightarrow \nabla f) = \overrightarrow \nabla^2 f = \Delta f$ (laplacien) $\overrightarrow}\ \overrightarrow} f = \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla f) = \overrightarrow 0$ $\operatorname\ \overrightarrow} \overrightarrow = \overrightarrow \nabla \cdot (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow ) = 0$ $\overrightarrow}\ \overrightarrow} \overrightarrow = \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow ) = \overrightarrow \nabla (\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow ) - \overrightarrow \nabla^2 \overrightarrow = \overrightarrow}\ \operatorname \overrightarrow A - \Delta \overrightarrow A$ $\Delta f g = f \Delta g + 2 \overrightarrow \nabla f \cdot \overrightarrow \nabla g + g \Delta f$ Formule de Lagrange pour le produit vectoriel : $\overrightarrow \wedge (\overrightarrow \wedge \overrightarrow ) = \overrightarrow (\overrightarrow \cdot \overrightarrow ) - \overrightarrow (\overrightarrow \cdot \overrightarrow )$

Ces opérateurs ne sont pas de produits scalaires, mais bien d'applications, malgré la notation $\overrightarrow\nabla\cdot\overrightarrow A$ . Le résultat est le même pour les coordonnées cartésiennes, mais devient faux pour les coordonnées curvilignes.

[] Voir aussi

[] Articles connexes

[] Liens externes

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Nabla

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