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En mécanique, le terme moment peut désigner plusieurs grandeurs physiques:

• les moment de force, moment de flexion, moment de torsion et moment d'encastrement, sont des efforts.
• le moment d'inertie représente la répartition autour d'un axe des masses d'un solide.
• les moments cinétique et dynamique sont liés resptivement aux torseurs de même nom.
• dans le cas de la distribution des vitesses dans un solide, la vitesse de chaque point est un moment (théorie des torseurs).

Sommaire 1 Moment d'une force 1.1 Par rapport à un point 1.2 Par rapport à un axe 1.3 Couple 2 Moment d'inertie 2.1 Approche empirique. 2.2 Détermination du moment d'inertie. 2.3 Théorème de Huygens 3 Utilisation des moments 4 Voir aussi

[] Moment d'une force

L'exemple ci contre montre une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant le point où on la pose. De même, on peut au même endroit, placer une charge plus grosse et constater la différence de comportement.

Le pouvoir de basculement dépend donc de l'intensité de la force, mais aussi de la position relative du point d'application et du point de rotation réelle ou virtuelle considéré.

Ces distinctions sont représentables par le modèle de moment d'une force qui est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera aussi pivot.

[] Par rapport à un point

Définition vectorielle.

Le moment d'une force <math>\vec</math> s'exerçant au point A par rapport au pivot P, est le vecteur noté <math>\vec_/P}</math>:

<math>\vec_/P} = \vec \wedge \vec = \vec\wedge\vec </math>.

Remarque sur la notation: il existe plusieurs variantes de notation des moments de force; certaines (comme sur l'image contre) comportent des parenthèse autour du vecteur, parfois autour de l'ensemble. D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de nullité de moments.

Ce vecteur est à la fois orthogonal à <math>\vec</math> et au bipoint <math>\vec</math> et finalement normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par <math>\vec_/\Delta}</math>).

Si d est la distance du pivot P à la droite d'action, c'est à dire PH, alors sa norme se calcule par:

<math>||\vec_/P}|| = ||\vec|| \cdot d</math>.

La longueur d est appelée bras de levier.

On peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité du moment; de par les propriétés du produit vectoriel:

• la force est nulle. Il n'y a pas de force donc sans intérêt.
• le bipoint <math>\vec</math> est <math>\vec</math>. La force est donc appliquée en P.
• <math>\vec</math> et <math>\vec</math> sont colinéaires , c'est à dire parallèles; alors la droite d'action passe par P, ce qui inclue aussi le cas précédent.

Voir l'outil mathematique produit vectoriel.

Formule du transport du moment.

Lorsqu'on connait le moment d'une force en un point, il est possible de le recalculer en n'importe quel point de l'espace. Cette opération est inévitable lorsqu'on manipule les torseurs d'actions mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier AP. On montre alors la relation suivante:

<math>\vec_/Q} = \vec_/P}+\vec \wedge \vec</math>.

On peut vérifier alors: <math>\vec_/P} = \vec_/A}+\vec \wedge \vec= \vec \wedge \vec</math>.

En réalité une action mécanique est modélisée par un vecteur (repésentant la force) et son point d'application. Il est possible de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique.

Si <math>(\Delta)</math> est le support de <math>\vec F</math>, appelée aussi droite d'action alors pour tous points P, P' de <math>(\Delta)</math>, <math>\vec_/P} = \vec_/P'}</math>.

Si la force est perpendiculaire au levier,

alors d est simplement la distance PA entre le pivot et le point d'application. Sinon, il faut prolonger la droite passant par le point d'application et portant le vecteur, d est alors la distance du pivot à sa projection orthogonale sur cette droite. D'une manière générale, on peut écrire: <math>||\vec_/P}|| = PA \cdot ||\vec|| \cdot |\sin \alpha|</math> où ? est l'angle <math>(\widehat,\vec})</math>.

Image:Moment force.png

Plus le moment d'une force par rapport à un pivot est grand, plus cette force aura tendance à mettre le levier en rotation. On retrouve deux notions intuitives :

• plus le bras de levier est long, plus il est facile de soulever un objet
• il est plus facile d'exercer un effort perpendiculairement au levier.

On remarque également que :

• une force s'appliquant au pivot a un moment nul
• une force dans l'axe du levier a un moment nul

puisque dans les deux cas, d est nul.

[] Par rapport à un axe

On peut définir le moment de la force par rapport à l'axe <math>(\Delta)</math> par

<math>M_/\Delta} = \vec_/P} \cdot \vec = (\vec \wedge \vec) \cdot \vec u = ((\vec, \vec F, \vec u))</math>, où <math>\vec</math> est un vecteur unitaire de <math>(\Delta)</math>, et P est un point quelconque de <math>(\Delta)</math>.

En résumé il s'agit de la composante suivant <math>\vec</math> du moment de <math>\vec</math> calculé en P. De ce fait il s'agit d'un nombre scalaire. Dans le cas d'un axe réel de rotation, cela revient à déterminer la part utile de moment engendrant la rotation du corps autour de l'axe. Le reste sera absorbé, donc subi, par le palier.

Voir l'outil mathematique produit mixte.

[] Couple

voir aussi:

• couple.
• mécanique statique paragraphe: statique du solide.

[] Moment d'inertie

[] Approche empirique.

prenez un balai en main au milieu du manche. Essayer de la faire tourner comme sur la figure ci-contre. Autour l'axe du manche (1) cela est plus facile qu'autour d'un axe transversal (2).

Cela est dû au fait que dans le deuxième cas des points sont plus éloignés de l'axe de rotation. A vitesse de rotation égale, l'énergie cinétique est plus importante: l'inertie est augmentée.

Quand on calcule l'énergie cinétique de rotation d'un solide en fonction du taux de rotation, on fait apparaître un terme lié au solide appelé moment d'inertie.

[] Détermination du moment d'inertie.

Considérons un objet composé de plusieurs points solidaires i de masse m_i. Cet objet tourne autour d'un axe ?, à la vitesse ?. la distance de i à ? est r_i.

Le calcul de l'énergie cinétique de cet objet donne:

<math>Ec=\sum_ 1/2.m_ V_^</math>

<math>Ec=\sum_ 1/2.m_.(\omega.r_)^</math>

<math>Ec=1/2(\sum_m_ r_^).\omega^ </math>

On définit alors le moment d'inertie M_i/? par rapport à l'axe ? par  :

<math>M_{i/ \Delta}=\sum_ r_^ \cdot m_</math>

Si le solide est un solide continu, on peut définir en chaque point x du solide une masse volumique ?, le moment d'inertie vaut alors

<math>M_{i/ \Delta}=\int d(x,\Delta)^\cdot dm=\int d(x,\Delta)^\cdot\rho dV</math>

où

• d(x,?) est la distance entre le point x et l'axe ? et
• dV est un petit volume autour de x
• dm est la masse de ce volume élémentaire

que l'on peut aussi écrire sous une forme vectorielle :

<math>M_{i/ \Delta}=\int \left (\vec\wedge\vec \right )^\cdot dm=\int \left (\vec\wedge\vec \right )^\cdot\rho dV</math>

où

• O est un point sur l'axe ?
• <math>\vec</math> est un vecteur unitaire de l'axe ?

[] Théorème de Huygens

Considérons l'axe ?, le centre de gravité de l'objet et un axe ?' parallèle à ? et distant de ce dernier d'une distance d. Huygens a établi une relation très pratique pour calculer le moment inertie M_i/?' quand on connaît le moment d'inertie M_i/? :

<math>M_{i/ \Delta '}=M_{i/ \Delta}+m\cdot d^</math>

Ainsi le moment d'inertie M_i/?' se déduit de M_i/? simplement en ajoutant le produit de la masse m du corps par le carré de la distance d entre les axes ?' et ?.

Une conséquence immédiate du théorème est que le moment d'inertie minimal est obtenu pour les axes passant par le centre de gravité.

[] Utilisation des moments

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps :

<math>\vec_ = \frac{d \vec}</math>

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) en rotation.

On peut aussi montrer que si <math>\vec</math> est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

• colinéaire à l'axe de rotation ?,
• dont la norme est la vitesse angulaire
• et orienté de façon que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation, alors :

<math>\vec = M_ \cdot \vec</math>

[] Voir aussi

• Mécanique statique
• Couple (physique)

 

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment (mécanique)