Livres
Evaluation des matrices de variance-covariance des sections efficaces nucléaires issues du modèle optique (Rapport CEA)

Mathieu Brassart
CEA Saclay, Direction des systèmes d'information

Amazon

Flickr Badge Matrice

Revue de presse Matrice_de_variance-covariance
shout shout

Matrice de variance-covariance

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les probabilités et les statistiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l?améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Une matrice de variance-covariance est une matrice carrée caractérisant les interactions (linéaires) entre p variables aléatoires X_1,\dots,X_p\,.

Sommaire

[] Définition

La matrice de variance-covariance (ou simplement matrice de variance) d'un vecteur de p variables aléatoires \vec X=\begin X_1 \\ \vdots\\ X_p \end est la matrice carrée dont le terme générique est donné par:

a_=\textrm\left(X_i,X_j\right)


La matrice de variance-covariance, notée parfois \boldsymbol\Sigma, est définie donc comme:

Définition ? \Sigma_X\equiv\operatorname(\vec X) \equiv \operatorname((\vec X-\operatorname(\vec X))(\vec X-\operatorname(\vec X))^T)

En développant les termes:

\Sigma_X=\operatorname(\vec X) = \operatorname\begin X_1 \\ \vdots\\ X_p \end = \begin \operatorname(X_1) & \operatorname(X_X_) & \cdots & \operatorname(X_X_) \\ \operatorname(X_X_) & \ddots & \cdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \operatorname(X_X_) & \cdots & \cdots& \operatorname(X_p) \end = \begin \sigma^2_ & \sigma_x_} & \cdots & \sigma_x_} \\ \sigma_x_} & \ddots & \cdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_x_} & \cdots & \cdots& \sigma^2_ \end



[] Propriétés

  • La matrice est symétrique matrice symétrique, étant donné la propriété que \operatorname(X, Y) = \operatorname(Y, X), .
  • Ses valeurs propres sont positives ou nulles. Lorsqu'il n'existe aucune relation affine presque sûre entre les composantes du vecteur aléatoire, la matrice \boldsymbol est à valeurs propres strictement positives : elle est définie positive.
  • Les éléments de sa diagonale représentent la variance de chaque variable, étant donné la propriété que: \operatorname(X, X) = \operatorname(X)
  • Les éléments en dehors de la diagonale représentent la covariance entre les variables i et j \quad i \neq j.


[] Estimation

Un estimateur non-biaisé de la matrice de variance-covariance peut être obtenu par:

\operatorname{\widehat }(\vec X)= {1 \over }\sum_^n (\vec X_i-\overline})(\vec X_i-\overline})^T
où \overline{\vec X}={1 \over }\sum_^n \vec X_i est le vecteur des moyennes empiriques.

L'estimateur du maximum de vraisemblance, sous l'hypothèse que X suit une loi normale multidimensionnelle, vaut par contre:

\operatorname{\widehat }(\vec X)={1 \over n}\sum_^n (\vec X_i-\overline{\vec X})(\vec X_i-\overline{\vec X})^T.

Dans le cas où les données sont générées par une loi normale multidimensionnelle, l'estimateur du maximum de vraisemblance suit une loi de Wishart (en)

[] Utilisation en statistique

La matrice de variance-covariance est un outil essentiel pour l'analyse multivariée:

[] Test sur la matrice de variance-covariance

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Le test de sphéricité de Bartlett permet de déterminer si les composantes hors de la diagonale de la matrice sont différentes de zéro, i.e. si il y a une relation entre les différentes variables prises en considération.

[] Voir aussi

 

shout
Réagissez


Attention! tous les commentaites inaproprié seront supprimés
Titre:
Video YouTube ou google: (doit être en rapport avec le sujet)
Votre mail:
Un pseudo:
Votre site:
Commentaire (le html n'est pas autorisé, nombre de caractère maximum = 400)
  save (Comment eBabylone 1.0 beta)

Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice de variance-covariance
Base de liens  |  Ajouter lien  |  Contact Rss
On est 22 visiteur(s) en ligne
Server 2.0