Revue de presse Loi_de_composition
Loi de composition
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C?est donc une application d?un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F.
Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l?ensemble d?une structure algébrique. Les conditions vérifiées par les lois s?appellent les axiomes de la structure de E.
Sommaire |
[] Notion de loi
Une loi (de composition) * : E × F ? G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x, y ) de E × F, un élément de G noté habituellement « x * y » (au lieu de la notation fonctionnelle « * ( x, y ) ») et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y.
x et y sont parfois qualifiés d?opérandes, car une loi n?est qu?un cas particulier d?opération.
G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :
- si E = F = G, la loi * : E × E ? E est appelée loi de composition interne dans E;
- si E ? F et G = F, la loi * : E × F ? F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs;
- si E ? F et G = E, la loi * : E × F ? E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.
[] Remarque
Il existe plusieurs notations pour les lois :
- la plus courante est la notation infixe; elle est plus « parlante», mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l?ordre d?exécution des opérations, s?il y en a plusieurs :
- une variante en est la notation par juxtaposition, où le symbole de la loi est omis :
, parfois 
- la notation suffixe, ou polonaise inverse, se passe aussi de parenthèses :
, parfois 
- la notation losange, mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l?ordre d?exécution des opérations, s?il y en a plusieurs :
[] Exemples
- Un produit scalaire sur un
-espace vectoriel E est une loi de E× E dans . - l?exponentiation entière des réels est une loi de
dans 
; - les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l?addition, la soustraction, la multiplication et la division; attention toutefois, ce ne sont pas toujours des lois de composition : ainsi, la soustraction n?est pas une loi de composition dans
; - un exemple de multiplication externe est la multiplication d?un vecteur par un scalaire en algèbre linéaire.
[] Lois internes
Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre générale; elles définissent les groupes, les monoïdes, les semi-groupes, les anneaux, etc.
La structure générale de magma est un ensemble muni d?une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l?addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d?un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives.
Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou :).
[] Lois externes
Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l?extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F ? F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.
[] Voir aussi
- Loi de composition interne
- Loi de composition externe
- Structure algébrique
- Algèbre universelle
- Algèbre générale
Mirror_ebab
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Loi de composition
