Leonhard Euler

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**Leonhard Euler**

Naissance :	15 avril 1707 Bâle (Suisse)
Décès :	18 septembre 1783 Saint-Pétersbourg (Russie)
Nationalité :	Suisse
Champs :	Mathématiques, physique

Leonhard Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, était un mathématicien et un physicien suisse.

Considéré comme le mathématicien le plus prolifique de tous les temps, Euler domine les mathématiques du XVIII^e siècle et développe très largement ce qui s?appelle alors la nouvelle analyse. Complètement aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, il produit presque la moitié de son travail durant cette période.

[] Biographie

Il est né en Suisse, à Bâle, en 1707, et il y étudie les mathématiques. Il reçut les leçons de Jean Bernoulli.

Il fut appelé par Catherine I^re de Russie en Russie en 1727, par la suite il travaille en tant que professeur de mathématiques à Saint-Pétersbourg. Il vient en 1741 se fixer à Berlin, et retourne à Saint-Petersbourg où il finit ses jours.

Il était membre des Académies de St-Pétersbourg, de Berlin, associé de l?Académie française des sciences, et fut pensionné par la Russie. Il a fait faire à la science mathématique de grands pas, surtout au calcul différentiel et intégral ; il appliqua l?analyse à la mécanique, à la construction des vaisseaux, et donna la démonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Pierre de Fermat.

Entre ses nombreux écrits, presque tous rédigés en latin, on doit remarquer :

Mécanique exposée analytiquement, Saint-Pétersbourg, 1736 ;
Introduction à l?analyse de l?infini, Lausanne, 1748 ;
La Science navale ;
Les Institutions de calcul différentiel ;
Les Institutions de calcul intégral, 1768 ;
Lettres à une princesse d?Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie (princesse d?Anhalt-Dessau, nièce du roi de Prusse), écrites en français, de 1761 à 1762, publiées à Saint-Pétersbourg en 1768, 3 volumes, in-8. Ce dernier ouvrage, où l?auteur traite à la fois de physique, de métaphysique et de logique, a été plusieurs fois réimprimé, notamment à Paris en 1787, par les soins de Nicolas de Condorcet, qui en a retranché les passages antiphilosophiques ; par Jean-Baptiste Labey en 1812, par Antoine-Augustin Cournot en 1842, par Émile-Edmond Saisset en 1843.

Euler eut treize enfants, dont huit moururent en bas âge, les autres marchant presque tous sur ses traces :

L?ainé, Jean Albert, né en 1734 à Saint-Pétersbourg, mort en 1810, partagea plusieurs prix à l?Académie des sciences avec Charles Bossut et Alexis Claude Clairaut, et enseigna la physique à St-Pétersbourg.
Charles, né en 1740, mort en 1800, remporta également plusieurs prix à l?Académie des sciences; il exerça la médecine à Saint-Pétersbourg et fut médecin de l?empereur.
Christophe, né en 1743 à Berlin, mort vers 1805, appliqua avec succès les mathématiques au génie militaire

Euler fut profondément pieux pendant toute sa vie. L?anecdote disant qu?il défia Denis Diderot à la Cour de Catherine la Grande avec l'affirmation : « Monsieur, $e i ? + 1 = 0$ donc Dieu existe, répondez ! » est cependant certainement apocryphe^[1]

[] Découvertes

Il est le physicien qui, avec Daniel Bernoulli, établit la loi selon laquelle, le couple sur un faisceau élastique mince est proportionnel à une mesure de l?élasticité du matériau et le moment d?inertie d?une coupe transversale, autour d?un axe traverse le centre de masse en étant perpendiculaire au plan des couples.

Il a également déduit un ensemble de lois de mouvement en dynamique des fluides à partir des lois du mouvement de Newton qui s?énoncent ainsi :

La force agissant sur un petit élément d?un fluide est égale au taux de variation de sa quantité de mouvement.
Le couple agissant sur un petit élément d?un fluide est égal au taux de variation du moment cinétique.

En mathématiques, il apporte d?importantes contributions à la théorie des nombres et aussi à la théorie des équations différentielles. Sa contribution à l?analyse, par exemple, est issue de sa synthèse du calcul différentiel de Leibniz avec la méthode de Newton des fluxions.

Il établit sa renommée très tôt en résolvant un problème connu de longue date - à savoir la détermination de la somme des inverses des carrés d?entiers :

$\zeta(2) = \sum_^\infty \frac = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac$

où $\zeta(s)\,$ est la fonction ? de Riemann.

Il montra aussi que pour tout nombre réel x,

$e^ = \cos x+ i\sin x \,$

C?est la formule d'Euler, qui établit le rôle central de la fonction exponentielle. Par essence, toutes les fonctions étudiées en analyse élémentaire sont ou de simples variations de la fonction exponentielle ou des fonctions polynomiales.

L?identité d'Euler, $e i ? + 1 = 0$ , que certains scientifiques ont appelé la « formule la plus remarquable du monde » en est une conséquence immédiate. En l?élevant à la puissance n, la formule de Moivre en est une autre conséquence immédiate.

En arithmétique, il introduit la fonction indicatrice d'Euler $?(n)$ , définie comme le nombre d?entiers inférieurs à $n$ et premiers à $n$ . Généralisant le petit théorème de Fermat, il démontre le théorème d?Euler à la base de la cryptographie RSA de nos jours.

En 1735, il travaille sur la constante d'Euler-Mascheroni utile dans certaines équations différentielles :

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac + \frac + \frac ... + \frac - \ln(n) \right)$

Il est un coauteur de la formule d?Euler-Maclaurin qui est un outil extrêmement puissant pour le calcul des intégrales, des sommes et des séries difficiles.

Il est le coauteur des Équations d'Euler-Lagrange base du Calcul des variations.

Euler écrit Tentamen novae theoriae musicae en 1739 qui est une tentative d?accorder les mathématiques et la musique ; une biographie commente que le travail est destiné « à des musiciens trop avancés dans leurs mathématiques et à des mathématiciens trop musicaux ».

Dans les sciences économiques, il prouve que si chaque facteur de production est payé à la valeur de son produit marginal, alors (sous des rendements à l?échelle constants) le revenu total et le rendement seront complètement épuisés.

En géométrie, il remarque des propriétés du triangle, avec le cercle d'Euler et la droite d'Euler.

En géométrie et en topologie algébrique, il y a une relation appelée relation d?Euler qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces d?un polyèdre du genre 0 (en supprimant une face on obtient une surface simplement connexe), par exemple d?un polyèdre convexe. Étant donné un tel polyèdre, la somme du nombre de sommets S et de faces F est toujours égale au nombre d?arêtes A plus deux c?est-à-dire :

F - A + S = 2

Le théorème s?applique également à n?importe quel graphe du plan. La relation d?Euler a donné naissance à la caractéristique d'Euler en topologie algébrique et en algèbre homologique.

En 1736, Euler résout un problème connu sous le nom du problème des sept ponts de Königsberg, publiant un article Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis^[2] qui pourrait être l?application la plus ancienne de la théorie des graphes ou de la topologie. Cette publication serait également la plus ancienne et donc la première en recherche opérationnelle.

Les travaux d?Euler concernant la conception des instruments optiques (microscopes, télescopes) ont été publiés dans l?ouvrage en trois volumes Dioptrica.

[] ?uvres

Toute l??uvre de Leonhard Euler numérisée à partir des éditions originales

Au cas où le lien ci-dessus ne marche pas, voici des alternatives, mais pas toujours aussi pratiques à consulter :

Euler Leonhard, Lettres à une princesse d?Allemagne, Bookmine.org
Euler Leonhard ici quelques ?uvres supplémentaires
Ouvrages d?Euler numérisés par le SICD des universités de Strasbourg
Correspondance avec Frédéric le Grand - éd. numérisée par la Bibliothèque Universitaire de Trèves

[] Bibliographie

Philippe Henry (Sous la direction de ), Leonhard Euler, « incomparable géomètre », Médecine & Hygiène,Genève, 2007, ISBN 978-2-88049-241-0.

[] Liens internes

[] Liens externes

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, Leonhard Euler, MacTutor History of Mathematics archive.
Site officiel sur le tricentenaire de la naissance d'Euler (2007)

[] Notes et références

Pages sur ce thème sur les projets Wikimedia :

	Ressources multimédia sur Commons.
	Textes sur Wikisource.

? The So-Called Euler-Diderot Incident, R. J. Gillings The American Mathematical Monthly, Vol. 61, No. 2 (Feb., 1954), pp. 77-80
? Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Comment. Acad. Sci. U. Petrop. 8, 128-140, 1736. Reprinted in Opera Omnia Series Prima, Vol. 7. pp. 1-10, 1766.