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En analyse, les intégrales de Wallis constituent une famille d'intégrales introduites par John Wallis.

Sommaire 1 Définition. Premières propriétés 2 Relation de récurrence. Calcul des intégrales de Wallis 3 Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis 4 Application à la formule de Stirling 5 Application au calcul de l'intégrale de Gauss 6 Nota

[] Définition. Premières propriétés

On appelle habituellement intégrales de Wallis les termes de la suite réelle <math>(W_n)_{\,n\, \in\, \mathbb\,}</math> définie par :

<math> W_n = \int_0^} \sin^n(x)\,dx </math>, ou de façon équivalente (par le changement de variable <math>x = \frac - t</math>):

<math> W_n = \int_0^} \cos^n(x)\,dx</math>

En particulier, les deux premiers termes de cette suite sont :

<math>\quad W_0=\frac\qquad \,</math> et <math>\quad W_1=1\,</math>

La suite <math>\ (W_n)</math> est décroissante, à termes strictement positifs. En effet, pour tout <math>n \in\, \mathbb</math> :

• <math>\ W_n > 0</math> : c'est l'intégrale d'une fonction continue, positive, et non identiquement nulle sur l'intervalle d'intégration
• <math>W_ - W_{n + 1}= \int_0^} \sin^(x)\,dx - \int_0^} \sin^{n + 1}(x)\,dx = \int_0^} \sin^(x)\, [1 - \sin(x)]\,dx \geq 0</math></br>

(par linéarité de l'intégrale et parce que la dernière intégrale est celle d'une fonction positive sur l'intervalle d'intégration)

Nota : décroissante et minorée (par 0), la suite <math>\ (W_n)</math> converge, et sa limite est positive ou nulle ; en fait, elle est nulle, comme cela résulte de l'équivalent obtenu plus loin.

[] Relation de récurrence. Calcul des intégrales de Wallis

Une intégration par parties va permettre d'établir une relation de récurrence intéressante :

En remarquant que pour tout réel <math>x</math>, <math>\quad \sin^2(x) = 1-\cos^2(x)</math>, on a pour tout entier naturel n :

<math>\int_0^} \sin^(x)\,dx = \int_0^} \sin^n(x) \left[1-\cos^2(x)\right]\,dx</math>

<math>\int_0^} \sin^(x)\,dx = \int_0^} \sin^n(x)\,dx - \int_0^} \sin^n(x) \cos^2(x)\,dx</math> (relation <math>\mathbf</math>)

On intègre alors par parties la seconde intégrale du second membre :

<math>\int_0^} \sin^n(x) \cos^2(x)\,dx = \left[ \frac \sin^(x) \cos(x)\right]_0^} + \int_0^} \ \frac \sin^(x) \sin(x)\,dx</math>

En reportant dans <math>\mathbf</math>, on obtient alors:

<math>W_=W_n - {1\over }\,W_</math>

d'où <math>\quad (n+2)\,W_=(n+1)\,W_n</math> (relation <math>\mathbf</math>)

Ceci se traduit par la relation bien connue :

<math>n\,W_n = (n-1)\,W_\qquad \,</math> valable pour <math>n \geq 2\qquad \,</math>. On a là une relation de récurrence donnant <math>W_n</math> en fonction de <math>W_</math>, ie le n-ième terme de la suite en fonction de celui qui le précède de deux rangs.

De cette relation et des valeurs de <math>W_0</math> et <math>W_1</math>, on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang. Ainsi :

• pour <math>\quad n=2\,p</math>, <math>\quad W_=\frac\,\frac\cdots\frac\,W_0=\frac\, (p!)^2} \frac</math>
• pour <math>\quad n=2\,p+1</math>, <math>\quad W_=\frac\,\frac\cdots\frac\,W_1=\frac\, (p!)^2}{(2\,p +1)!}</math>

On remarque que les termes de rang pair sont irrationnels, tandis que ceux de rang impair sont rationnels.

[] Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis

• De la formule de récurrence précédente <math>\mathbf</math>, on déduit d'abord que :

<math>\ W_{n + 1} \sim W_n</math> (équivalence de deux suites).

En effet, pour tout <math>n \in\, \mathbb</math> :

<math>\ W_{n + 2} \leq W_{n + 1} \leq W_n</math> (la suite étant décroissante) donc :

<math>\frac{W_{n + 2}} \leq \frac{W_{n + 1}} \leq 1</math> (puisque <math>\ W_n > 0</math>), ce qui s'écrit :

<math>\frac{n + 1}{n + 2} \leq \frac{W_{n + 1}} \leq 1</math> (d'après la relation <math>\mathbf</math>).

Par encadrement, on conclut que <math>\frac{W_{n + 1}} \to 1</math>, soit <math>\ W_{n + 1} \sim W_n</math>.

• Puis on établit l'équivalence suivante :

<math>W_n \sim \sqrt{2\, n}}</math>

[] Application à la formule de Stirling

On suppose connue l'équivalence suivante (établie dans l'article sur la formule de Stirling):

<math>\ n\,! \sim C\, \sqrt\left(\frac}\right)^n</math>, où <math>\ C \in \R^*</math>.</br>

On se propose maintenant de déterminer la constante <math>\ C</math> à l'aide d'équivalents de <math>W_{2\, p}</math>.

• Du paragraphe précédent résulte l'équivalence :

<math>W_{2\, p} \sim \sqrt{4\, p}} = \frac}\, \frac}</math> (relation <math>\mathbf</math>)

• Par ailleurs, en utilisant l'équivalent de la factorielle donné supra :

<math>W_=\frac\, (p\,!)^2}\, \frac \sim \frac{C\, \left(\frac{2\, p}}\right)^\, \sqrt{2\, p}}\, C^2\, \left(\frac}\right)^\, \left(\sqrt\right)^2}\, \frac </math>, soit :

<math>W_ \sim \frac{C\, \sqrt}\, \frac}</math> (relation <math>\mathbf</math>)</br>

Des équivalences <math>\mathbf</math> et <math>\mathbf</math>, on déduit par transitivité :

<math>\frac{C\, \sqrt}\, \frac} \sim \frac}\, \frac}</math>, d'où :

<math>\frac{C\, \sqrt} = \frac}</math>, et enfin <math>C = \sqrt{2\, \pi}</math>.

On a ainsi établi la formule de Stirling dans sa version définitive :

<math>\ n\,! \sim \sqrt{2\, \pi\, n}\, \left(\frac}\right)^n</math>.

[] Application au calcul de l'intégrale de Gauss

On peut également utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss, mais il existe une méthode bien plus directe.

Cette preuve étant longue et quelquefois fastidieuse, certaines démonstrations auxiliaires (qui tiennent ici lieu de lemmes) n'ajoutant ici rien d'intéressant ou ne présentant pas de difficultés particulières mais pouvant faire perdre le fil du raisonnement, seront écrites dans des boîtes déroulantes.

Soient <math>f</math> et <math>g</math> les deux fonctions numériques de classe <math>C^</math> définies par :

<math>f:\,\R\rightarrow\R,\ x\mapsto \mathrm^{x^2\over n}-1-{x^2\over n}</math>

<math>g:\,\R\rightarrow\R,\ x\mapsto \mathrm^{-{x^2\over n}}-1+{x^2\over n}</math>

On montre que <math>f</math> et <math>g</math> sont positives sur <math>\R</math>.

)</math>

On a clairement <math>\forall x\in\R,\,\mathrm^{-{x^2\over n}}\le 1</math> et <math>\mathrm^{x^2\over n}\ge 1</math>, donc le signe de chacune des dérivées ne dépend que du facteur <math>{2x\over n}</math>.

<math>f</math> et <math>g</math> étant paires, restreignons l'étude à <math>\R^+</math>

<math>f'</math> et <math>g'</math> étant positives sur <math>\R^+</math> , <math>f</math> et <math>g</math> y sont croissantes.

Sur <math>\R^-</math> elles sont décroissantes, puisqu'alors <math>{2x\over n}\le 0</math>.

De classe <math>C^\infty</math>, décroissante sur <math>\R^-</math> et croissante sur <math>\R^+</math>, de dérivée nulle en 0,<math>f</math> admet un minimum en <math>0</math> égal à <math>f(0)=0</math> donc <math>f</math> est positive sur <math>\R</math>.

De même pour <math>g</math> qui admet un minimum égal à <math>g(0)=0</math>.

Donc <math>f</math> et <math>g</math> donc sont toutes deux positives sur <math>\R</math>. }}

On montre par ailleurs, grâce aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>, la double inégalité suivante, valable sur <math>[0,\sqrt]</math>:

<math>\left(1-{x^2\over n}\right)^n\le \mathrm^\le {1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}\qquad \mathbf</math>

-1+{x^2\over n}\ge 0</math>

<math>\forall x\in \R,\ \mathrm^{-{x^2\over n}}\ge 1-{x^2\over n}</math>

<math>\forall x\in [0,\sqrt],\ \left(1-{x^2\over n}\right)^n\le \mathrm^</math> en élevant à la puissance <math>n</math>, sur <math>[0,\sqrt]</math>, intervalle où les fonctions <math>x\mapsto 1-{x^2\over n}</math> et <math>x\mapsto \mathrm^{-{x^2\over n}}</math> sont positives, la fonction <math>x\mapsto x^n</math> étant croissante sur <math>\R^+</math>, elle conserve le sens des inégalités.

De la même manière, la positivité de <math>f</math> permet de déduire que :

<math>\forall x\in \R,\ \mathrm^{x^2\over n}-1-{x^2\over n}\ge 0</math>

<math>\forall x\in \R,\ 1+{x^2\over n}\le \mathrm^{x^2\over n}</math>

<math>\forall x\in \R,\ \left(1+{x^2\over n}\right)^n\le \mathrm^</math>

<math>\forall x\in \R,\ \mathrm^\le {1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}</math>

}}

La fonction <math>[0,\sqrt]\rightarrow \R,\ x\mapsto \left(1-{x^2\over n}\right)^n</math> est continue sur le segment <math>[0,\sqrt]</math>.

La fonction <math>\R^+\rightarrow \R,\ x\mapsto {1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}</math> est continue sur <math>\R^+</math> et, équivalente au voisinage de <math>+\infty</math> à <math>x\mapsto {n^n\over x^}</math>, est intégrable sur <math>[0,+\infty]</math>, puisque <math>2n>1</math>.

Il est donc loisible de poser pour tout <math>n\in\N</math>,

<math>u_n=\int_0^{1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}\,dx</math>

<math>v_n=\int_0^\sqrt \left(1-{x^2\over n}\right)^n\,dx</math>

Avec la double inégalité <math>\mathbf</math>, on a, en intégrant sur <math>[0,\sqrt]</math> (ce qui ne change pas le sens de l'inégalité):

<math>\int_0^\sqrt\left(1-{x^2\over n}\right)^n\,dx\le \int_0^\sqrt\mathrm^\,dx\le\int_0^\sqrt{1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}\,dx</math>

Or, la quantité <math>\int_\sqrt^{1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}\,dx</math> existe (on a vu l'intégrabilité de la fonction) et est positive. Donc, en l'ajoutant au dernier membre et en utilisant la relation de Chasles:

<math>\int_0^\sqrt\left(1-{x^2\over n}\right)^n\,dx\le \int_0^\sqrt\mathrm^\,dx\le\int_0^{1\over \left(1+{x^2\over n}\right)^n}\,dx</math>

Ainsi, pour tout <math>n</math>,

<math>v_n\le \int_0^\sqrt\mathrm^\,dx\le u_n\qquad \mathbf</math>.

D'autre part, par un changement de variable, on montre que pour tout <math>n\in \N</math>, <math>u_n=W_\,\sqrt</math> et <math>v_n=W_\,\sqrt</math>.

</math>.

<math>\varphi</math> est une bijection de classe <math>C^1</math> et de réciproque <math>C^1</math>, elle constitue donc un changement de variable bijectif. On pose <math>x=\varphi^(t)=\sqrt\,\tan t</math>. On a <math>\varphi '(t)=\sqrt(1+\tan ^2t)</math>.

Ainsi, <math>u_n=\sqrt\,\int_{[0,{\pi\over 2}[}{1+\tan ^2t \over (1+\tan ^2t)^n}\,dt=\sqrt\,\int_{[0,{\pi\over 2}[}{1 \over (1+\tan ^2t)^}\,dt=\sqrt\,\int_0^{\pi\over 2}\cos^ t\,dt</math>, car <math>\forall t\in ]-{\pi\over 2},{\pi\over 2}[,\,1+\tan ^2t = {1\over \cos^2 t}</math>.

On s'est donc ici ramené à une intégrale de Wallis : on a montré que pour tout <math>n\in \N</math>, <math>u_n=\sqrt\,W_</math>.

• En procédant de même pour <math>v_n</math>:

Soit <math>\psi:\,]0,\sqrt[\rightarrow ]0,{\pi\over 2}[,\ t\mapsto \operatorname{t\over \sqrt}</math>.

<math>\psi</math> est une bijection de classe <math>C^1</math> (c'est pour cela que l'on a exclu les bornes) et de réciproque <math>C^1</math>, elle constitue donc un changement de variable bijectif. On pose <math>x=\psi^(t)=\sqrt\,\sin t</math>. On a <math>\psi '(t)=\sqrt\,\cos t</math>.

Alors <math>v_n=\sqrt\int_{]0,{\pi\over 2}[} \cos^t\,\cos t\,dt=\sqrt\int_0^{\pi\over 2}\cos^t \,dt</math>.

On a ici montré que pour tout <math>n\in \N</math>, <math>v_n=\sqrt\,W_</math>.

}} Cherchons un équivalent des suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> : avec l'équivalent obtenu plus haut, on a successivement :

<math>u_n=W_\,\sqrt\sim \sqrt{\pi \over }\sqrt\sim \sqrt{\pi\over 4}\,\sqrt{n\over (n-1)}\sim\sqrt{\pi\over 4}</math>.

D'où <math>\lim(u_n)=\over 2}</math>.

<math>v_n=W_\,\sqrt\sim \sqrt\,\sqrt}\sim \sqrt{\pi\over 4}\,\sqrt{n\over n+{1\over 2}}\sim\sqrt{\pi\over 4}</math>.

D'où <math>\lim(v_n)=\over 2}</math>.

En utilisant l'encadrement <math>\mathbf</math> et le théorème des gendarmes, <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> ayant la même limite, on en déduit que

<math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^\sqrt\mathrm^\,dx = \over 2}</math>

En définitive, on a à la fois prouvé l'intégrabilité de <math>x\mapsto\mathrm^</math> (qu'il est d'ailleurs presque immédiat de montrer par comparaison) et, par parité de l'intégrande, on obtient ce qu'il fallait démontrer :

<math>\int_^\mathrm^\,dx = \sqrt</math>.

Enfin, en effectuant le changement de variable linéaire défini par <math>\R\rightarrow\R, t\mapsto\frac}=x</math> (où <math>\ \alpha > 0</math>), on retrouve :

<math>\int_^ \mathrm^{-\alpha x^2} dx =\frac}\int_^ \mathrm^ dt = \frac}\, \sqrt = \sqrt}</math>.

[] Nota

Les mêmes propriétés conduisent au produit de Wallis, qui exprime <math>\frac\,</math> (voir ?) sous forme d'un produit infini.

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