Revue de presse Hyperplan
Hyperplan
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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans sont des sous-espaces vectoriels particuliers.
Sommaire |
[] Définition
Soit E un 
-espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.
On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1.
Remarques :
- Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
- Dans
, la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.
[] Caractérisation
On montre l'équivalence des propriétés suivantes :
- H est un hyperplan
- Il existe une droite D telle que
[] Lien avec les formes linéaires
On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.
C'est à dire : H est un hyperplan de E 
Soit H un hyperplan de E. On cherche à construire une forme linéaire non nulle dont H est le noyau.
H est un hyperplan donc par définition il admet un supplémentaire dans E de dimension égale à 1. C'est donc une droite vectorielle engendrée par un 
(xo ne peut être nul car il n'appartient pas à H qui contient 0). On a donc
Tout vecteur x de E se décompose donc de la façon suivante:
Posons une application 
qui a tout vecteur de E associe le scalaire associé à xo dans sa décomposition suivant 
. Montrons alors que 
est linéaire: On prend deux vecteurs x et y quelconque de E qui se décomposent comme ci-dessus:
En prenant un scalaire 
quelconque on obtient:
Ce qui montre que est linéaire, de plus son ensemble d'arrivée est K, c'est donc bien une forme linéaire. De plus elle n'est pas nulle (par exemple xo a pour image 1).
Prenons un 
. Par décomposition xH = xH + 0xo donc 
et donc 
. On a donc 
.
Réciproquement, soit 
. Alors ce vecteur n'est pas engendré par xo et donc appartient à H. On a donc 
et donc par double inclusion 
.
-
- H est donc le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Réciproquement, soit une forme linéaire non nulle et H son noyau. Montrons que H est un hyperplan de E. Pour cela, on va montrer que H admet un supplémentaire de dimension 1.
est non-nulle, il existe donc un vecteur xo de E non-nul tel que 
. Montrons alors que 
. Soit x dans E. Comme 
, on peut écrire la tautologie suivante:
Il est clair que 
car 
est bien dans K.
D'autre part:
Donc 
. Autrement dit, tout vecteur de E se décompose en somme d'un élément de la droite vectorielle engendrée par xo et d'un élément du noyau H, ie E = H + xoK. Montrons maintenant que cette somme est directe.
Soit 
. On peut donc écrire x = ?xo avec 
. Et donc 
. Mais comme x est dans H on a également 
. C'est à dire ? = 0 (car ) et donc x=0. D'où 
et la somme est directe.
Par conséquent, soit, par définition:
-
- H est un hyperplan de E.
Interprétation de ce résultat dans le 
-espace vectoriel :
Toutes les formes linéaires sur peuvent s'écrire sous la forme suivante : 
avec 
fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit 
Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).
[] Exemples
- Dans
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans . L'ensemble des matrices de trace nulle 
est un hyperplan de E.
- Dans
![E=\mathbb K[X]](http://upload.wikimedia.org/math/1/c/b/1cb0abf0a8f3b51222650ef94e97ad5e.png)
l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: 
est un hyperplan de E.
Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.
[] Représentation des sous-espaces
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.
On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperplan
