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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et en physique.

Définitions

La structure algébrique d'un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles. Un ensemble $\backslash mathcal$ muni d'une loi de composition interne $\backslash star$ possède la structure de groupe si $(\backslash mathcal,\; \backslash star)$ a les propriétés suivantes: :
identité : $\backslash exists\; e\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\; \backslash star\; e\; =\; e\backslash star\; x\; =\; x$ ; :
Symétrisation : $\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; \backslash exists\; y\; \backslash in\; \backslash mathcal/\; x\; \backslash star\; y\; =\; y\; \backslash star\; x\; =\; e$, $y$ est dit symétrique de x et on le note x' ; :
Fermeture:$(x,\; y)\; \backslash in\; \backslash mathcal^2\; \backslash longrightarrow\; x\; \backslash star\; y\; \backslash in\; \backslash mathcal$ :
associativité : $\backslash forall\; x,\; y,\; z\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\; \backslash star\; (y\; \backslash star\; z)\; =\; (x\; \backslash star\; y)\backslash star\; z$. Lorsque $\backslash mathcal$ est un ensemble fini, on dit que $(\backslash mathcal,\; \backslash star,\; e)$ est un groupe fini'' ; sinon on dit que $(\backslash mathcal,\; \backslash star,\; e)$ est un ''groupe infini''. Pour un groupe fini, l'''ordre de ce groupe est le nombre de ses éléments. En terme de variété équationnelle, un groupe est une donnée $(\backslash mathcal,\backslash star,e,f)$ (où $\backslash mathcal$ est un ensemble non vide, $\backslash star$ une loi de composition interne de $\backslash mathcal$, $e$ un élément de $\backslash mathcal$ et $f$ une application de $\backslash mathcal$ dans $\backslash mathcal$) soumise aux axiomes suivants : :
$\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\; \backslash star\; e\; =\; e\backslash star\; x\; =\; x$ ; :
$\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\; \backslash star\; f(x)\; =\; f(x)\; \backslash star\; x\; =\; e$ ; :
$\backslash forall\; x,\; y,\; z\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\; \backslash star\; (y\; \backslash star\; z)\; =\; (x\; \backslash star\; y)\; \backslash star\; z$.

Autre définition

On peut définir un groupe comme toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même. Cette définition présente les avantages suivants :
elle nécessite peu de formalisme,
elle ne s'encombre pas de théorèmes (le neutre et l'inverse deviennent nécessairement uniques),
elle fournit une vision plus géométrique d'un groupe
elle tient en très peu de place.

Commutativité

Si, en plus, l'opération $\backslash star$ est commutative, c'est-à-dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux ($\backslash forall\; x,\; y\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\; \backslash star\; y=y\; \backslash star\; x$), le groupe est dit abélien. Si un tel groupe est fini ou engendré par une famille de groupes finis, la théorie (entièrement achevée) des groupes abéliens de type fini s'applique. Article détaillé|Commutativité

Conventions

L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite). Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication ; c'est-à-dire en écrivant $\backslash \; x\; y$ ou $x\; \backslash cdot\; y$ pour $x\; \backslash star\; y$, ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi $\backslash \; 1$ l'élément neutre. Cette convention est appelée la notation multiplicative. Cependant, quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi $\backslash \; +$ et l'élément neutre $\backslash \; 0$. Noter un groupe non commutatif avec une loi $\backslash \; +$ va à l'encontre des conventions habituelles. Cette convention est appelée la notation additive.

Exemples

L'ensemble $\backslash mathbb\; Z$ des entiers relatifs est un groupe pour l'addition.
Les permutations d'un ensemble forment un groupe pour la composition.
Lorsqu'on a un groupe, on peut en construire un autre en considérant ses automorphismes, qui forment un groupe pour la composition.
Plus généralement, les automorphismes d'une structure algébrique forment un groupe pour la composition.
L'ensemble des matrices carrées (de taille donnée) muni de l'addition ;
L'ensemble des matrices carrées inversibles (de taille donnée) muni de la multiplication ;
L'ensemble des matrices carrées orthogonales muni de la multiplication ;
L'ensemble des isométries du plan (ou d'un quelconque espace affine euclidien) muni de la loi de composition. ;Contre-exemples
L'ensemble $\backslash mathbb\; N$ muni de l'addition (les inverses des éléments de $\backslash mathbb\; N$ ne sont pas dans $\backslash mathbb\; N$).
L'ensemble des matrices carrées muni de la multiplication (toutes les matrices ne sont pas inversibles).
L'ensemble des homothéties du plan muni de la composition (les homothéties de rapport zéro ne sont pas inversibles).
L'ensemble des parties d'un ensemble non vide muni de l'union ensembliste (l'union n'a pas d'inverse, sauf pour l'ensemble vide). Ces quatre derniers exemples sont des monoïdes par lacune de l'inversibilité.

Sous-groupe

Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G qui est un groupe pour l'opération qu'il hérite de G. On note parfois $H\backslash leq\; G$. On montre aisément qu'un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse : $\backslash forall\; x,y\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; x\backslash star\; y^\; \backslash in\; \backslash mathcal$. Article détaillé|Sous-groupe

Exponentiation par un entier, ordre d'un élément

Définition de l'exponentiation

On peut définir une loi externe des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante : étant donnés $n$ un entier relatif, et $x$ un élément d'un groupe $(G,\backslash star\; ,1)$, on pose :
$x^n\; =\; x\backslash star\; x\backslash star\; \backslash ldots\; \backslash star\; x$ (où $x$ apparaît $n$ fois à droite) si $n>0\backslash ,$,
$x^n\; =\; (x^)^\backslash ,$ si , et
$x^0\; =\; 1\backslash ,$. Il faut noter que cette nouvelle notation est compatible avec la notation pour l'inverse d'un élément. Cette exponentiation vérifie les propriétés suivantes: $\backslash forall\; m,n\; \backslash in\; \backslash mathbb,\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal$ : :
$x^\; =\; x^m\; \backslash star\; x^n$ ; :
$(x^m)^n\; =\; x^\{m\; .\; n\}$. Attention : on n'a $(x\backslash star\; x\text{'})^n\; =\; x^n\; \backslash star\; x\text{'}^n$, $\backslash forall\; x,\; x\text{'}\; \backslash in\; \backslash mathcal,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb$ que si le groupe est commutatif. Cependant, si $x$ et $x\text{'}$ commutent, on a bien $(x\backslash star\; x\text{'})^n\; =\; x^n\; \backslash star\; x\text{'}^n$ pour tous $n\; \backslash in\; \backslash mathbb$. On dit d'un élément $x$ d'un groupe qu'il est d'ordre fini s'il existe un entier non nul n tel que $x^n\; =1\backslash ,$.

Ordre d'un élément

Si on se fixe $g\; \backslash in\; \backslash mathcal$, cette loi externe, avec ses propriétés, permet de définir un morphisme de groupes : $\backslash mathbb\backslash rightarrow\; \backslash mathcal$, via : $n\; \backslash mapsto\; g^n$. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de $\backslash mathbb$, de la forme $a\backslash mathbb$, avec $a\; \backslash in\; \backslash mathbb$ ; si cet entier a est nul on dit que g est d'ordre infini', sinon on dit qu'il est d''ordre a. Article détaillé|ordre (théorie des groupes)

Exemples

0 est d'ordre 1 dans $\backslash mathbb\; Z$ (l'élément neutre est toujours d'ordre 1) ;
1 est d'ordre infini dans $\backslash mathbb\; Z$ ;
1 est d'ordre n dans $\backslash mathbb\; Z/n\backslash mathbb\; Z$ ;
une involution non-triviale (différente de l'élément neutre) est d'ordre 2.

Sous-groupe distingué

Soient $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$, on dit que $H$ est distingué dans $G$ (ou normal ou invariant dans $G$) si et seulement si $\backslash forall\; g\; \backslash in\; G\; \backslash quad\; g^Hg\; \backslash subseteq\; H$. Remarque : dans le cas où $G$ est commutatif, tous les sous-groupes de $G$ sont distingués dans $G$. Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$, on définit alors sur $G$ la relation d'équivalence $\backslash mathcal\; R$ suivante : $x\backslash mathcal\; Ry$ ssi $xy^\backslash in\; H$. On peut alors faire le quotient suivant $G\; /\{\backslash mathcal\; R\}$, noté $G\; /\; H$, qui sera muni d'une structure de groupe induite par celle de $G$. Pour plus de détails : Article détaillé|groupe quotient

Exemples

Dans le groupe $\backslash mathbb\; Z$ un sous-groupe, qui est forcément de la forme $n\backslash mathbb\; Z$ pour $n$ entier, permet de définir le groupe quotient $\{\backslash mathbb\; Z\}/\{n\backslash mathbb\; Z\}$ qui est isomorphe au groupe cyclique à $n$ éléments.
On appelle $S\_n$ le groupe des permutations de $n$ éléments. $A\_n$ le sous-groupe des permutations paires. Alors $A\_n$ est distingué dans $S\_n$ et (si $n>1$) $/$ est isomorphe à $\{\backslash mathbb\; Z\}/\{2\backslash mathbb\; Z\}$.
Dans le groupe des "quaternions", $\backslash left(\backslash left\backslash ,\backslash times\backslash right)$ le groupe $\backslash left\backslash$ est distingué et le quotient est isomorphe au groupe $\{\backslash mathbb\; Z\}/\{2\backslash mathbb\; Z\}\; \backslash times\; \{\backslash mathbb\; Z\}/\{2\backslash mathbb\; Z\}$, qui d'ailleurs n'est isomorphe à aucun des sous-groupes des quaternions.
Dans un groupe tout sous-groupe d'indice $2$ (on dit que $H$ sous-groupe de $G$ est d'indice $2$ si les parties de $G$ de la forme $xH$ sont en quantité 2; si $G$ est fini, cela revient à $/=2$) est distingué et le groupe quotient est alors isomorphe à $\{\backslash mathbb\; Z\}/\{2\backslash mathbb\; Z\}$, ce qui est le cas du groupe $A\_n$ dans $S\_n$ définis dans un exemple précédent.
On définit le groupe dérivé du groupe $\backslash left(G,$
\right) comme le groupe engendré par les éléments de la forme $x$
y
x^
y^\,. Le groupe dérivé de $G$ est distingué dans $G$ et son quotient est commutatif (ou abélien). De plus si un sous-groupe de $G$ vérifie le fait que le quotient de $G$ par ce sous-groupe est commutatif alors il contient le groupe dérivé.
On définit aussi le centre d'un groupe par l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres. C'est là aussi un sous-groupe distingué.

Histoire

L'une des origines de l'idée de groupe est l'étude des équations algébriques par Joseph-Louis Lagrange (1771). La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois (1830) : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynôme séparable. L'idée de groupe tient aussi ses sources de l'étude de nouvelles géométries, Felix Klein (1872), et de la théorie des nombres : Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss.

Voir aussi

Lexique des groupes
action de groupe
génération d'un groupe
groupe abélien
groupe abélien de type fini
groupe fini
groupes de Lie
groupe symétrique
groupe ponctuel de symétrie
groupe simple
groupe résoluble
groupe sporadique
ordre (théorie des groupes)
produit direct
produit semi-direct
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