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Les fonctions de bessel et leurs applications en physique t4

Goudet Georges
Masson 		Les fonctions de bessel

Goudet Georges
Masson 		Communauté européenne de l'énergie atomique. Euratom. Approximation des fonctions de Bessel, optimisation des programmes correspondants : Par R.-F. Gloden. Centre commun de recherche nucléaire. Etablissement d'Ispra, Italie, Centre de traitement de l'information scientifique, Cetis

Raoul-François Gloden
Euratom 		Note sur la situation des racines des équations transcendantes Jene + 1/2 exe = 0, où J désigne une fonction de Bessel... par P. Rudski

P. Rudski
F. Hayez

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Revue de presse Fonction_de_Bessel
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Fonction de Bessel

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Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :

x^2 \frac{d^2 y} + x \frac + (x^2 - n^2)y = 0


pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus commun est quand n est un nombre naturel, et il est alors nommé l'ordre de la fonction.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

  • les fonctions de Bessel de première espèce Jn, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
  • les fonctions de Bessel de seconde espèce Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'aplanissent parce qu'elles sont divisées par un terme de la forme \sqrt.

Plot of Bessel J

Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.

Applications :

[] Expression des fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :

J_n(x)=(x/2)^n \sum_^\infty {(-1)^p \over 2^ p! (n+p)!} x^

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

Y_n(x)=\lim_{\lambda \to n} {J_\lambda(x) \cos(\lambda \pi) - J_(x) \over \sin(\lambda \pi)}

[] Propriétés (des Jn)

  • Relations de récurrence :
J_(x)={n J_n(x) \over x}-J_n'(x)
J_(x)+J_(x)={2n \over x} J_n(x)
J_(x)-J_(x)=-2J_n'(x)\,
  • On en déduit :
J_1(x)=-J_0'(x)\;
\frac(x^n J_n(x))=x^n J_(x)\;
  • Orthogonalité :

?i et ?j étant deux zéros distincts de Jn), on a : \int_^ x J_n(\lambda_i x) J_n(\lambda_j x)\, dx = 0

[] Liens internes

 

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Fonction de Bessel
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