ok Encyclopédie - Espace de Sobolev & Video
Livres
Distributions - Espaces de Sobolev : Applications
Distributions - Espaces de Sobolev : Applications
EUR 21,50
Marie-Thérèse Lacroix-Sonrier
Ellipses Marketing

Amazon

Flickr Badge Espace

Revue de presse Espace_de_Sobolev
shout shout

var skin = "monobook";

Espace de Sobolev

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant l'analyse.
Vous pouvez partager vos connaissances en l?améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels. Ils doivent leur nom au mathématicien russe Sergueï Sobolev.

Sommaire

[] Espaces de Sobolev standards

Si U est un ouvert de \R^n, on note habituellement Wk,p(U) l'espace des fonctions f:U\rightarrow \R qui sont mesurables, k fois dérivables au sens des distributions, et telles que les dérivées successives soient dans L^p(U) \, (voir l'article ici pour une définition de L^p(U) \,).

[] Espaces de Sobolev sur les variétés

Considérons une variété riemannienne (M,g) et notons \nabla la connexion de Levi-Cevita.

Notons Ck,p(M) l'espace des fonctions f:M\rightarrow \mathbb de classe Ck telles que |\nabla ^lf|\in L^p(M) pour 0\leq l\leq k. L'espace de Sobolev Wk,p(M) est la complétion de Ck,p(M) pour la norme :

\|f\|_=\sum_^k\|\nabla ^lf\|_p

Cette définition est cohérente avec celle donnée dans le paragraphe précédent. En effet, un ouvert U de \mathbb^n est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de \mathbb^n.

[] Théorèmes de densité

  • Pour une variété riemannienne complète, les fonctions C^ à support compact sont denses dans W1,p(M) pour tout 1\leq p<\infty .
  • Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité ? > 0 et de courbure bornée, les fonctions C^ à support compact sont denses dans W1,p(M) pour tout 1\leq p<\infty .

[] Théorème de plongement de Sobolev

Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité ? > 0 et de courbure bornée (typiquement : variété riemannienne compacte) :

  • Si k>l\geq 0 sont des entiers, 1\leq p <q des réels, avec \frac=\frac-\frac, alors l'espace Wk,q(M) s'injecte continuement dans Wl,p(M).
  • Si k,r sont des entiers vérifiant l'inégalité \frac>\frac, l'espace Wk,q s'injecte continuement dans BCr(M).

[] Définition - Ordre 1

Soit l'ensemble défini par \mathbf=\{v\in \mathbf, \forall i =1...N, \frac{\partial v}{\partial x_i}\in \mathbf \}

On l'appelle espace de Sobolev d'ordre 1.

[] Propriétés

[] Cas général

On appelle espace de Sobolev d'ordre m le sous-espace vectoriel de \mathbf défini par:

\mathbf=\{v\in \mathbf, \forall q\le m, \frac{\partial ^q v}{\partial x_1 ... \partial x_q}\in \mathbf \}

[] Propriétés

  • La forme définie sur \mathbf{H^m(\Omega) \times H^m(\Omega)} par ((u,v))_m = \int_ \sum_{q\le m} \sum_{r\le m} \frac{\partial ^q v}{\partial x_1 ... \partial x_q} \frac{\partial ^r v}{\partial x_1 ... \partial x_r} \, dm

est un produit scalaire. Muni de ce produit scalaire, l'espace \mathbf est un espace de Hilbert.

  • Théorème de régularité L'espace \mathbf s'injecte dans \mathbf où k est un entier quelconque, vérifiant la condition 0 \le k < m - \frac où N est la dimension de l'espace.

Mirror_ebab  

shout
Réagissez


Attention! tous les commentaites inaproprié seront supprimés
Titre:
Video YouTube ou google: (doit être en rapport avec le sujet)
Votre mail:
Un pseudo:
Votre site:
Commentaire (le html n'est pas autorisé, nombre de caractère maximum = 400)
  save (Comment eBabylone 1.0 beta)

Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace de Sobolev
Base de liens  |  Ajouter lien  |  Contact Rss
On est 29 visiteur(s) en ligne
Server 2.0