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Un article de Wikipedia.y-project.com.

Image:Nuvola 64 apps edu mathematics blue.png

Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

L'entortillement est une caractéristique d'une courbe fermée sans point double dans l'espace <math>\mathbf^3</math>. On peut aussi utiliser le terme vrille. Comme son nom l'indique, ce nombre décrit à quel point la courbe est entortillée, c'est à dire le degré de complexité de son chemin dans l'espace.

[] Formule générale

L'entortillement d'une courbe de longueur <math>L</math> et dont les points sont repérés par <math>\mathbf(s)</math>, avec <math>s</math> variant de 0 à <math>L</math> et <math>\mathbf(0)=\mathbf(L)</math> s'obtient par la formule

<math> Ent=\frac\int_0^L \mathrms \; \frac\mathbf}s}(s) \cdot

         \int_0^L \mathrms'\; \frac\mathbf}s}(s') \times
                  \frac(s')-\mathbf(s)}(s')-\mathbf(s)\|^3}. 
   \qquad(1)</math>

[] Cas d'une courbe aplatie

L'entortillement décrit la déformation de la courbe par rapport au cercle ou au n?ud obtenu en aplatissant la courbe. Ainsi un cercle plat a pour entortillement zéro. Une courbe plate est représentée par un diagramme de lien, où à chaque croisement le brin passant dessous est coupé juste autour du brin passant dessus pout garder en mémoire les positions relatives, comme sur le dessin ci-dessous. On choisit arbitrairement une orientation, c'est-à-dire un sens de parcours du diagramme obtenu (ce choix ne change pas les résultats). À partir de cette orientation on obtient l'entortillement d'une courbe aplatie, qui est un nombre entier, à l'aide de son diagramme. L'entortillement est calculé en ajoutant, pour chaque croisement, <math>+1</math> ou <math>-1</math> selon la règle

Image:Knot-crossing-plus.png		Image:Knot-crossing-minus.png
<math>+1</math>		<math>-1</math>

Le résultat est indépendant de l'orientation choisie pour la courbe. C'est le résultat qu'on obtient en calculant la formule (1) lorsque la courbe est aplatie.

[] Lien avec la théorie des n?uds

Ce nombre est invariant par deux des trois mouvements de Reidemeister, utilisés en théorie des n?uds : on parle de l'entortillement d'un diagramme de n?ud. Le diagramme du n?ud de trèfle (droit) ci-dessous a pour entortillement +3 :

Image:TrefoilKnot-01.png

L'entortillement d'un ruban, ajouté à sa torsade, est un nombre entier appelé enlacement.