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Un nombre <math>z</math> complexe est un entier algébrique, s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers relatifs, soit <math>P(z) = 0</math> avec:

          <math>P(X)= X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \ldots + a_1 X + a_0,  </math>

où <math>a_0,\ldots,a_n\in\Z</math>.

C'est donc en particulier un nombre algébrique.

Sommaire 1 Exemples 2 Propriétés générales 3 Théorème 4 Anneaux d'entiers algébriques

[] Exemples

Les nombres entiers sont des entiers algébriques. Mais il en existe de moins triviaux. Par exemple:

• les racines carrées des nombres entiers: la racine de n est solution de <math>X^2 - n = 0</math>,
• <math>i</math>, racine carrée de <math>-1</math>, solution de <math>X^2 + 1 = 0</math>,
• plus généralement les racines <math>n</math>-ièmes de l'unité: solutions de <math>X^n - 1 = 0</math>,
• le nombre d'or <math>\phi = 1,618\ldots</math>, solution de <math>X^2 - X - 1 = 0</math>.

[] Propriétés générales

Soit <math>z</math> un entier algébrique. Il revient au même de dire que l'algèbre <math>\Z[z]</math> engendrée par <math>z</math> est de type fini en tant que module sur l'anneau Z des entiers relatifs. C'est alors un module libre, et son rang est le degré de l'entier algébrique <math>z</math>.

Ce degré est le degré minimal d'un polynôme annulateur de <math>z</math>, c'est-à-dire qui s'annule en <math>z</math>. Un tel polynôme de degré minimal est nommé polynôme minimal de l'entier <math>z</math>. On peut toujours normaliser ce polynôme en le choisissant unitaire à coefficients entiers. <math>P</math> étant un tel polynôme, l'anneau <math>\Z[z]</math> est alors isomorphe à <math>\Z[T]/(P)</math>.

Les entiers algébriques forment, à l'instar de <math>\Z</math>, donc un anneau: ils sont stables par addition, soustraction et multiplication. Par contre leur ensemble n'est pas stable sous la formation de quotient. Par exemple, d'après le résultat suivant, le rationnel <math>1/2</math> n'est pas un entier.

[] Théorème

Un nombre rationnel est un entier algébrique si et seulement si c'est un entier relatif.

[] Anneaux d'entiers algébriques

De la même manière que les entiers algébriques sont aux nombres algébriques ce que les entiers relatifs sont aux nombres rationnels, les anneaux d'entiers correspondent quant à eux aux corps de nombres.

Étant donné un corps de nombres <math>K</math>, son anneau d'entier, généralement noté <math>\mathcal_K</math>, est défini comme l'anneau des entiers algébriques de <math>K</math>: C'est la fermeture intégrale de <math>\Z</math> dans <math>K</math>. Il a la propriété d'être un sous-anneau de <math>K</math> ayant même rang en tant que module sur <math>\Z</math> que la dimension de <math>K</math> comme vectoriel sur <math>\mathbb</math>: C'est un ordre de <math>K</math>. <math>\mathcal_K</math> peut également être défini comme le plus grand sous-anneau de K ayant cette propriété: C'est l'ordre maximal de <math>K</math>.

Les anneaux d'entiers algébriques constituent un des objets d'étude fondamentaux de la théorie algébrique des nombres. Ils héritent en fait de nombreuses propriétés arithmétiques de <math>\Z</math>. Bien que ce ne sont pas en général des anneaux principaux ni même factoriels, où l'on peut appliquer l'analogue du lemme de Gauss, ce sont tout de même des anneaux de Dedekind, où l'on peut pratiquer une factorisation des idéaux.

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Entier algébrique