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Théorie des ensembles, logique, les entiers: Bases du raisonnement mathématique, indices, familles indexées, relations d\'ordre, d\'équivalence, ensembles finis, infinis, dénombrables
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Ensemble infini

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L' infini se définit par rapport au fini, mais le terme "fini" peut avoir plusieurs sens selon le contexte ; ainsi un segment de droite, limité en longueur, a un nombre infini de points.

Du point de vue de la théorie des ensembles, le fini se définit par un nombre d'éléments ; mais cela même demande à être clarifié, d'autant plus que ce concept de finitude peut varier selon la théorie dans laquelle on se place.

Un ensemble E est fini s'il existe une bijection de E sur un intervalle [1,n] formé par les nombres entiers naturels de 1 à n inclus, ou de façon équivalente sur l'intervalle [0,n-1] des n premiers entiers naturels.[1]

Il existe des définitions basées sur les propriétés intrinsèques des ensembles finis :[2]

  • Selon Dedekind, un ensemble E est fini exactement s'il n'existe aucun sous-ensemble propre B de E tel qu'on puisse définir une relation biunivoque entre E et B.
  • Selon Tarski, un ensemble E est fini exactement si toute famille non vide B de sous-ensembles de E admet un élément Bo minimal pour l'inclusion.

Ces deux définitions ne sont équivalentes que grâce à l'axiome du choix ; sans cet axiome, la définition de Tarski est la plus forte, et correspond à la définition donnée au début.

Si \quad E est un ensemble infini alors \mathrm(E) \notin \mathbb  : le cardinal de E n'est pas un entier naturel ; toutefois ceci présuppose que tout ensemble a un cardinal ; or cette affirmation repose sur l'axiome du choix.[3]

La classe la plus simple des ensembles infinis est la classe des ensembles infinis dits dénombrables (équipotents à \mathbb). Une autre classe d'ensembles infinis est la classe des ensembles équipotents à \mathbb R qui sont parfois appelés ensembles continus. Se pose alors le problème de l'hypothèse du continu : existe-t-il un ensemble dont le cardinal est strictement compris entre \aleph_0 , qui est le cardinal de \mathbb N et 2^ qui est le cardinal de \mathbb . Cette proposition est indécidable dans le système d'axiomes ZFC.

Icône de détail Article détaillé : Nombre cardinal.

[] Notes et références

  1. ? Selon une terminologie largement acceptée, un entier est un ordinal ? tel que tout ?, Ø<??? a un prédécesseur ; alors l'intervalle [0,n-1] s'identifie à n lui-même, de sorte qu'un ensemble est fini exactement s'il est équipotent "à un entier".
  2. ? Roland Fraïssé, Logique mathématique, Vol.I, Gauthier-Villars Paris 1971, pp.12-13-14
  3. ? Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Ensemble infini
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