Endomorphisme

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En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou un homomorphisme) d'un objet mathématique sur lui même. Ainsi, par exemple, un endomorphisme d'espace vectoriel E est une application linéaire f : E ? E et un endomorphisme de groupe G est un homomorphisme f : G ? G, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quelle catégorie.

Étant donné un objet X d'une catégorie C et deux endomorphismes f et g de X (donc de type X ? X), la composée de g par f notée $f\circ g$ est aussi un endomorphisme de X (elle a aussi le type X ? X). Comme l'application identité de X est aussi un endomorphisme de X, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde, noté End_C(X) ou simplement End(X) si la catégorie est connue.

Dans de nombreuses situations, il est possible d'additionner les endomorphismes, et avec la composition des applications, les endomorphismes d'un objet donné forment un anneau, appelé l'anneau des endomorphismes de l'objet. Cela est possible, par exemple, dans les catégories des groupes abéliens, des modules, et des espaces vectoriels et plus généralement dans toutes les catégories pré-additives.

Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme. Dans le schéma suivant, les flèches désignent une implication.

Automorphisme ? isomorphisme

endomorphisme ? (homo)morphisme