Demi-groupe

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Un demi-groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne binaire associative.

S'il possède un élément neutre, on aura affaire à un monoïde. Si la loi est commutative, ce sera un demi-groupe commutatif et un semi-groupe si l'opération est régulière.

Malheureusement une certaine confusion règne dans la terminologie et provient, en partie du moins, du fait que l'équivalent anglais de demi-groupe est semigroup et cancellation semigroup pour semi-groupe. De plus, les analystes parlent de semi-groupes d'opérateurs même s'il s'agit plutôt de demi-groupes du point de vue algébrique alors que Bourbaki (Algèbre, chapitre 1, § 1, n° 3) utilise le terme monoïde pour demi-groupe et certains celui de magma associatif.

[] Exemples

Tout idéal propre d'un anneau (c'est-à-dire sans l'élément neutre de l'anneau), pour la partie multiplicative, est un demi-groupe et non un monoïde.
Tout ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments possède une borne inférieure interprétée comme le produit de ces deux éléments, on obtient ainsi un demi-groupe commutatif dont tout élément est idempotent. La réciproque est vraie: soit S un tel demi-groupe et posons aRb si a.b = a, alors S est partiellement ordonné par R et toute paire d'éléments possède une borne inférieure.
Évidemment, tout exemple de monoïde et semi-groupe.

[] Sous-demi-groupe

Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe S est un sous-ensemble de S fermé sous l'opération de S.

Ainsi l'ensemble 2N des nombres pairs, ou multiples de 2, est un sous-demi-groupe du demi-groupe commutatif N des nombres naturels avec opération la multiplication: à noter que N est un monoïde avec neutre 1 alors que 2N n'est qu'un demi-groupe.