Démonstration

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En mathématiques, une démonstration est un raisonnement, s'appuyant sur la logique, qui permet d'établir des assertions à partir de propriétés précédemment établies ou admises. L'assertion une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations et, en admettant que le système de déduction soit correct^[1], une démonstration ne sera plus contestée, seules les hypothèses pourront être discutées.

Hors du champ des mathématiques, en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complémentaire des preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue d'emporter l'adhésion de l'auditeur ou du lecteur.

Sommaire

1 Typologie des démonstrations
2 Incomplétude et indépendance
3 Théorie de la démonstration
4 Outils d'aide à la démonstration
5 Voir aussi
- 5.1 Liens internes
- 5.2 Liens externes

[] Typologie des démonstrations

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des dénominations spécifiques.

Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe, pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de celui-ci, de la façon la plus simple possible, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts. Dans certains contextes, on peut considérer qu'une démonstration par l'absurde ou par contraposition est indirecte.
Une démonstration par l'absurde consiste à montrer qu'en affirmant la négation de l'assertion à démontrer on aboutit à une contradiction, typiquement une proposition et sa négation.
Une démonstration est constructive si elle inclut une construction ou un mode de recherche effectif des objets dont elle établit l'existence.
Une démonstration par récurrence utilise une méthode de déduction pour affirmer qu'une assertion est démontrable pour tous les entiers naturels : elle consiste à prouver l'assertion pour 0 (ou 1), puis à prouver que si l'assertion est vraie pour l'entier n, elle est vraie pour n+1. Des variantes existent plus généralement pour les éléments d'un certain ensemble bien ordonné ou des structures qui sont construites d'une façon qui généralise celle avec laquelle les entiers naturels sont décrits.

[] Incomplétude et indépendance

Il est parfois possible de démontrer^[2] qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée dans certain système axiomatique dont on aurait pourtant attendu qu'il puisse formaliser « toutes » les mathématiques ; ainsi l'axiome du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, non plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce système d'axiomes : il est par exemple possible d'ajouter aussi bien l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit). En fait, comme l'énonce le théorème d'incomplétude de Gödel, dans toute théorie axiomatique « raisonnable »^[3] qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées alors qu'elles sont en fait « vraies » ; plus précisément toutes les instances de la proposition par chacun des entiers naturels est démontrable.

[] Théorie de la démonstration

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des systèmes déductifs et s'appelle pour cela la théorie de la démonstration.

[] Outils d'aide à la démonstration

L'informatique a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres:

les assistants d'aide à la démonstration sont des outils logiciels qui aident les utilisateurs à construire leurs démonstrations,
les logiciels de démonstration automatique de théorèmes réalisent automatiquement les démonstrations des propositions qu'on leur soumet.

? L'établissement de la correction des systèmes de déduction est l'un des objectifs de la logique mathématique.
? Il s'agit d'une démonstration dans la méta-théorie.
? On peut vraiment en énoncer les axiomes et, même s'il y en a une infinité, les décrire précisément de façon finie, un énoncé précis de cette notion de théorie raisonnable repose sur la théorie de la calculabilité.