Couple (physique)

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Sommaire

1 Définition
2 Propriété fondamentale du couple
3 Représentations d'un couple
- 3.1 Représentation la plus simple
- 3.2 Exemples d'autres représentations
4 Articles liés

[] Définition

On appelle couple tout système d'actions mécaniques dont la résultante $\vec$ est nulle et le moment résultant $\vec_0$ par rapport à un point $O$ est non nul.

Remarque : ce moment est alors indépendant du point $O$ , comme démontré ci-dessous.

[] Propriété fondamentale du couple

[] Rappel : moment d'une force

On rappelle que le moment par rapport à un point O d'une force dont le point d'application est au point M est défini par :

$\vec}_O \ = \ \vec \wedge \vec(M)$

[] Un théorème général

Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces $\vec_i$ où l'indice $\ i = 1, \cdots, n$ . Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :

$\vec}_O \ = \ \sum_^n \ \vec}_i \ = \ \sum_^n \ \vec_i \wedge \vec_i(M_i)$

Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :

$\vec}_A \ = \ \sum_^n \ \vec_i \wedge \vec_i(M_i)$

On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :

$\vec_i \ = \ \vec \ + \ \vec_i$

d'où le moment résultant :

$\vec}_A \ = \ \sum_^n \ \vec \wedge \vec_i(M_i) \ + \ \sum_^n \ \vec_i \wedge \vec_i(M_i)$

La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur $\vec$ est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :

$\sum_^n \vec \wedge \vec_i(M_i) \ = \ \vec \wedge \left[ \sum_^n \vec_i(M_i) \right]$

La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :

$\vec \ = \ \sum_^n \vec_i(M_i)$

d'où le théorème général :

$\vec}_A \ = \ \vec}_O \ + \ \vec \wedge \vec$

[] Cas particulier du couple

Le couple étant un système d'actions mécaniques dont la résultante $\vec$ est nulle, son moment résultant est indépendant du point choisi pour le calculer :

$\vec}_A \ = \ \vec}_O$

On utilise souvent la notation $\vec$ pour représenter le moment résultant d'un couple. Compte-tenu du résultat précédent, il n'est en effet pas nécessaire de préciser le point choisi pour calculer le moment.

[] Représentations d'un couple

Il existe une infinité de représentations différente d'un même couple $\vec$ donné.

[] Représentation la plus simple

La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :

l'une, $\vec_1$ , appliqué en un point $M 1$ différent de l'origine $O$ fixée.

l'autre, $\vec_2 \ = \ - \ \vec_1$ , appliqué en un point $M 2$ symétrique du point $M 1$ par rapport à l'origine $O$ .

Ainsi, la résultante $\vec \ = \ \vec_1 \ + \ \vec_2 \ = \ \vec$ est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs $\vec_1$ et $\vec_2$ ne sont pas colinéaires au vecteur $\vec$ ; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :

Si on note la distance $|| \vec_1 || = || \vec_2 || = d$ , la norme des forces $|| \vec_1 || = || \vec_2 || = F$ , et $\vec$ le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :

$\vec \ = \ 2 \ d \ F \ \vec$

[] Exemples d'autres représentations

On peut représenter le même couple $\vec$ que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :

l'une, $\vec_1$ , appliqué au point $O$ .

l'autre, $\vec_2 \ = \ - \ \vec_1$ , appliqué en un point $M 3$ situé à une distance non nulle de l'origine $O$ .

Ainsi, la résultante $\vec \ = \ \vec_1 \ + \ \vec_2 \ = \ \vec$ est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs $\vec_1$ et $\vec_2$ sont perpendiculaires au vecteur $\vec$ :