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La constante d'Euler-Mascheroni est une constante mathématique d'utilisations multiples en théorie des nombres. Elle se définit comme limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel :

<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac + \frac + \frac + ... + \frac - \ln(n) \right)</math>

qu'on peut condenser en :

<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(

\sum_^n \frac - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,dx</math>

Sommaire 1 Valeur approchée 2 Formules diverses 2.1 Généralisation : Série de constantes <math>\gamma (m)</math> 3 Calcul numérique de <math>\gamma</math>

[] Valeur approchée

Les 100 premières décimales de cette constante sont

? ? 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495

En 1781, Leonhard Euler avait obtenu les 16 premières décimales grâce au procédé de sommation d'Euler-Mac Laurin. Pour sa part, Lorenzo Mascheroni détermina 32 décimales pour son ouvrage Geometria del compasso qui contribua à faire connaître la constante.

À ce jour, on ignore si la constante d'Euler-Mascheroni est ou non un nombre rationnel.

[] Formules diverses

Cette constante intervient dans nombre de formules :

• Intégrales :

<math>\gamma = - \int_0^\infty \ln(x)}\,dx = \int_0^1 {1 - e^ \over x}\,dx - \int_1^\infty \over x}\,dx = \int_0^\infty {1 \over e^x-1} - \over x}\,dx</math>

<math>\int_0^\infty \ln^2(x)}\,dx = \gamma^2 + {\pi^2 \over 6}</math>

• Fonction Gamma :

<math>\Gamma(z) = \int_0^\infty e^t^\,dt = {1 \over {ze^{\gamma z} \prod_^\infty (1+z/n)e^}}</math>

• Fonction Exponentielle intégrale :

<math>E_1(z) = \int_z^\infty \over t}\,dt = \int_1^\infty \over t}\,dt = e^\int_0^\infty \over }\,dt</math>

<math>= \over z} \int_0^\infty \over }\,dt = - lnz - \gamma + \sum_^\infty z^n \over n.n!}</math>

• Fonction Psi :

<math>\Psi(z) = {\Gamma'(z) \over \Gamma(z)} = - \gamma - {1 \over z} + \sum_^\infty {1 \over n} - {1 \over n+z}</math>

En particulier, <math>\Psi(1) = \Gamma'(1) = - \gamma \,</math> et <math>\sum_^n {1 \over k}= \Psi(n+1) + \gamma</math>

[] Généralisation : Série de constantes <math>\gamma (m)</math>

De manière plus générale, on peut définir les constantes suivantes :
<math>\gamma (m) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_^n \frac{(\ln k)^m} - \frac{(\ln n)^} \right)</math>. On constate que <math>\gamma (0) = \gamma</math>, la constante d'Euler.

[] Calcul numérique de <math>\gamma</math>

Le calcul numerique de <math>\gamma</math> est un moyen pedagogique simple pour se sensibiliser aux problemes de propagation d'erreur d'arondi. En simple precision, pour 100 000 points, en sommant dans l'ordre naturel, on obtient une erreur sur la 4ieme decimale, erreur beaucoup plus faible si on fait cette somme dans l'ordre inverse (du plus petit au plus grand), ou si on utilise l'algorithme de Kahan (cf Somme (algorithmique)). Pour 1 000 000 de points, la divergence atteind la 2ieme decimal dans le sens naturel, et la 4ieme decimal dans le sens inverse; par contre, par la methode de Kahan, on a atteind les 6 decimales exactes.

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Constante d\'Euler-Mascheroni