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En mathématiques, la conjecture d'Euler, proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances n^e n'est pas une puissance n^e.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

<math>\forall n > 2, \forall (a_1, \dots, a_) \in (\mathbb^*)^, \forall m > 1, \sum_^ ^n \ne m^n</math>

Cette conjecture fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :

<math>27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5</math>.

En 1988, Noam Elkies trouva une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

<math>2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4</math>.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

<math>95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4</math>.

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture d\'Euler