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Un article de Wikipedia.y-project.com.
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Concavité )
En géométrie , un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
Cette notion concrète a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe.
Le terme convexe est également utilisé :
[ Ensemble convexe On désigne ici par E un espace vectoriel réel ou complexe. On définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de E .
Quels que soient x et y éléments de E , on appelle segment d'extrémités x , y le sous-ensemble de E ainsi défini :
<math>[x, y] = \{z \in E\, /\, \exists\, t \in [0,\, 1], z = t\, x + (1 - t)\, y\} </math>
Un sous-ensemble C de E est dit convexe si, pour tous x et y dans C , <math>[x,\, y] \subset C</math> ; la partie vide est convexe.
[ Propriétés élémentaires Soit C un sous-ensemble convexe de E .
Si <math>x_1,\, \dots,\, x_p</math> sont des points de <math>\ C</math> et <math>t_1,\, \dots,\, t_p</math> des réels positifs ou nuls tels que <math>t_1 + \cdots + t_p = 1</math>, alors la combinaison linéaire (dite convexe ) <math>t_1\, x_1 + \cdots + t_p\, x_p</math> est un point de C .
L'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de E est un sous-ensemble convexe de E .
Combinaison convexe
Soit une partie finie <math> \quad\ A =(v_1,v_2,...,v_p)</math> de E. Un vecteur w de E est une combinaison convexe de <math>\quad A</math> s'il existe p réels positifs ou nuls <math>\quad \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_p</math> de somme égale à 1 tels que <math> w = \sum_^N \lambda_k v_k</math></br>
Soit une partie <math> \quad A </math> quelconque de E.On désigne par combinaison convexe de <math> \quad A </math> toute combinaison convexe d'un sous ensemble fini de <math>\quad A </math></br>
[ Enveloppe convexe Étant donnée une partie quelconque A de E , il existe au moins un sous-ensemble convexe de E contenant A , à savoir E lui-même ; alors on peut définir l'enveloppe convexe <math>\mathrm(A)</math> de A : c'est l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de E contenant A .
C'est donc le plus petit sous-ensemble convexe de E contenant A , caractérisé par les deux propriétés suivantes :
<math>\ \mathrm(A)</math> est convexe et <math>A \subset \mathrm(A)</math> ;
si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A , alors <math>\quad \mathrm(A) \subset C</math>.
x , y sont deux points de E , l'enveloppe convexe de la paire {x , y } est le segment [x , y ].
Théorème </br>
L'enveloppe convexe d'un ensemble A est l'ensemble des combinaisons convexes de A.</br>
Démonstration </br>
Soit B l'ensemble des combinaisons convexes de A.
Toute combinaison convexe de A appartient à <math>\quad \mathrm(A)</math> (cf. ci-dessus). Donc <math>\quad B\subset \mathrm(A)</math>.
Théorème </br>
L'enveloppe convexe d'un ensemble A équilibré est équilibrée
Démonstration </br>
Soient <math>\quad \{ v_1,v_2,...,v_p\} </math> une partie finie de A et <math>\quad\lambda</math> un scalaire vérifiant <math>|\lambda|\le 1</math>.</br>
Tout <math>w \in \mathrm(A)</math> s'écrit <math>w=\sum_^N \alpha_k v_k</math> avec <math>\alpha_k\ge 0 </math>et <math>\sum_^N \alpha_k = 1 </math>.</br>
Alors <math>\quad \lambda w =\sum_^N \alpha_k \lambda v_k </math>. Mais pour tout <math>\quad k\quad \lambda v_k \in A</math> puisque A est équilibré. Il en résulte immédiatement que <math>\quad \lambda w \in \mathrm(A)</math>.</br>
[ Exemples Les sous-ensembles convexes de l'ensemble <math>\R</math> des nombres réels sont les intervalles de <math>\ \R</math>.
Étant donnés n intervalles <math>\ I_1,\, \dots, \, I_n</math> de <math>\ \R</math>, leur produit cartésien <math>\ I_1 \times \cdots \times I_n</math> est un sous-ensemble convexe de <math>\ \R^n</math>.
Dans un espace vectoriel (réel ou complexe), tout sous-espace vectoriel est convexe ; il en est de même de tout sous-espace affine.
Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe), toute boule est convexe, qu'elle soit ouverte ou fermée.
[ Jauge d'un ensemble convexe Soit <math>K \subset E</math> un ensemble convexe contenant l'origine.
On appelle jauge de K (relativement à l'origine) la fonction <math>\quad p_K</math> de E dans <math>\mathbb R_+ \quad \bigcup \quad \{+ \infty \}</math> définie par
<math>p_K(v)=inf \{\lambda ,\lambda>0 \quad et \quad \lambda^v \in K \}</math> </br>
et <math> p_K(v)=+\infty </math> si l'ensemble ci-dessus est vide.</br>
Théorème
La jauge <math>\quad p_K </math> d'un convexe K contenant l'origine vérifie les propositions suivantes:</br>
(i)Si <math>\quad \lambda \ge 0</math> alors <math>\quad p_K(\lambda v)=\lambda p_K(v) </math> </br>
(ii)<math>p_K(u+v) \le p_K(u)+p_K(v) </math> </br>
Démonstration </br>
(i): Ce résultat est immédiat. </br>
(ii):Soient 2 vecteurs <math>\quad u</math> et <math>\quad v</math> quelconques. Le résultat est évident si <math>p_K(u)=+\infty</math> ou <math>p_K(v)=+\infty</math></br>
Sinon: </br>
<math>\quad \alpha \ge p_K(u) </math> équivaut à <math>\quad \alpha^ u \in K</math></br>
<math>\quad \beta \ge p_K(v) </math> équivaut à <math>\quad \beta^ v \in K</math></br>.
En utilisant la convexité, la conjonction de ces 2 propositions entraîne: </br>
<math>(\alpha+\beta)^ (u+v) = \frac\alpha^u + \frac\beta^v\quad\in K</math>, ce qui équivaut à <math>\alpha+\beta\ge p_K(u+v)</math>.</br>
Donc <math>\quad p_K(u+v)\le \inf_{\alpha \ge p_K(u)}\alpha+\inf_{\beta \ge p_K(v)}\beta =p_K(u)+p_K(v)</math>
Théorème
Si l'espace E est réel , la jauge d'un convexe symétrique K (par rapport à 0) et absorbant est une semi-norme sur E.</br>
Si l'espace E est complexe , la jauge d'un convexe K équilibré et absorbant est une semi-norme sur E.</br>
Démonstration </br>
Tout d'abord K étant absorbant il en résulte immédiatement que <math>\forall v \in E \quad p_K(v)<+\infty</math>.</br>
De plus, en utilisant le théorème précédent il suffit de vérifier que <math>\forall \lambda \in \mathbb K\quad p_K(\lambda v)=|\lambda| p_K(v) </math>
Si l'espace E est réel, la symétrie de <math>\mathbb K</math> montre immédiatement que pour <math>\lambda <0\quad p_K(\lambda v)=-\lambda p_K(v)=|\lambda|p_K(v). </math>
Si l'espace E est complexe.</br>
Ecrivons <math>\quad\lambda=|\lambda|e^</math> . K étant équilibré, pour tout <math>\quad \mu>0\quad \mu^|\lambda|e^v \in K</math> équivaut à <math>\mu^|\lambda|v \in K</math> puisque <math>\quad |e^|=|e^|=1</math>. Il en résulte l'égalité des bornes inférieures, c'est à dire <math>\quad p_K(\lambda v)=p_K(|\lambda|v)=|\lambda|p_K(v)</math>.
[ Projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert Théorème
Soient <math>\mathbb H</math> un espace de Hilbert sur <math>\mathbb R</math> ou <math>\mathbb C </math> et M un ensemble convexe fermé (non vide) de <math> \mathbb H </math>. <math> \quad v </math> désignant un vecteur quelconque de <math>\mathbb H</math>, le problème <math>\min_{w \in M}\|v-w\| </math> admet une solution unique <math> \quad w^*</math>. Cette solution est caractérisée par l'inéquation variationnelle :
<math>\forall w \in M \quad Re(w-w^*|v-w^*) \le 0 </math>
De plus la projection : <math> p_M: \quad v \longrightarrow w^* </math> est 1-lipschitzienne uniformément continue
Démonstration
Montrons tout d'abord l'équivalence de la définition initiale avec l'inéquation variationnelle.
Si <math> w^*</math> est une solution du problème, supposons que l'inéquation variationnelle soit fausse: il existe donc <math>w_1 \in M \,</math> tel que <math> Re(w_1-w^*|v-w^*)>0 \,</math>. M étant convexe, pour tout <math> \lambda \in [0,1]</math> le vecteur <math> \lambda w_1+(1- \lambda)w^*\,</math> appartient à M. Mais alors <math> \|v-(\lambda w_1+(1- \lambda)w^*)\|^2=\|v-w^*\|^2+\lambda^2 \|w_1-w^*\|^2-2 \lambda Re(v-w^*|w_1-w^*)</math>
Le coefficient de <math> \lambda</math> est strictement négatif en vertu de notre hypothèse. Pour <math>\lambda</math> suffisamment petit non nul, le terme en <math> \lambda^2</math> est strictement dominé par le terme en <math>\lambda</math> et par conséquent la somme algébrique des deux derniers termes est strictement négative. Par suite dans ce cas <math> \|v-(\lambda w_1+(1- \lambda)w^*)\|^2<\|v-w^*\|^2 </math>, ce qui est contradictoire.
Réciproquement supposons que l'inéquation variationnelle soit vraie. Alors pour tout <math> w \in M \quad \|v-w\|^2=\|v-w^*\|^2 + \|w-w^*\|^2-2Re(v-w^*|w-w^*) \ge \|v-w^*\|^2 </math>, ce qui est le résultat annoncé.
L'ensemble de réels <math>\{\|v-w\|\, / w \in M\}</math> admet une borne inférieure d (il est minoré par 0). Il existe donc au moins une suite minimisante <math> (w_n) \quad</math> d'éléments de M telle que <math> \lim_{n \to \infty} \|v-w_n\|=d</math>. Nous allons montrer que c'est une suite de Cauchy . Soient donc <math> w_n</math> et <math> w_m</math> deux éléments de la suite. Il résulte du théorème de la médiane que, si I désigne le milieu de <math>\quad [w_n,w_m]</math> on a <math>\|w_n-w_m\|^2=2(\|w_n-v\|^2
\|w_m-v\|^2)-4\|v-I\|^2</math>. Comme <math> I \in M </math> (convexité) <math>\|v-I\|^2 \ge d^2 </math>. D'autre part puisque <math>\|v-v_n\|</math> et <math>\|v-v_m\|</math> tendent vers d , quel que soit <math>\epsilon >0</math> on peut trouver N tel que (n > N et m > N ) entraîne <math> 2(\|v-w_n\|^2+\|v-w_m\|^2)<4d^2+\epsilon^2</math>. Et donc <math>\|w_n-w_m\|^2<\epsilon^2</math>, soit <math> \|w_n-w_m\|<\epsilon </math> . Ceci montre qu'on a bien une suite de Cauchy .
Maintenant comme M est fermé et donc complet M . Ceci montre l'existence d'une solution du problème puisque par la définition précédente <math> \quad w^* </math> vérifie <math> \|v-w^*\|=\lim_{n \to \infty} \|v-w_n\| = d </math> .
Prouvons que <math>w^*</math> est bien solution unique du problème initial. Si en effet, <math>w^</math> était une solution différente, on aurait <math> \|v-w^\|^2=\|v-w^*\|^2+\|w^*-w^\|^2-2Re(v-w^*|w^-w^*)>d^2 </math> puisque le second terme est strictement positif et le dernier positif (à cause de l'inéquation variationnelle vérifiée par <math>w^ </math>) . Ceci contredirait le fait que <math>w^</math> soit solution.
Soient maintenant deux vecteurs <math> \quad v_1 </math> et <math> \quad v_2 </math> et soient <math> w^*_1 </math> et <math>w^*_2</math> leurs projections respectives. Comme on peut écrire
<math>v_1-v_2=w^*_1-w^*_2+ (v_1-w^*_1)-(v_2-w^*_2)</math> on a immédiatement
<math>\|v_1-v_2\|^2=\|w^*_1-w^*_2\|^2+\|(v_1-w^*_1)-(v_2-w^*_2)\|^2+2Re(w^*_1-w^*_2|(v_1-w^*_1)-(v_2-w^*_2))
</math> la projection est 1-lipschitzienne .
[ Fonction convexe (d'une variable réelle) En analyse , une fonction f d?un intervalle I vers <math>\mathbb</math> est dite convexe si, pour tous x et y de I et tout t dans [0, 1] on a :
<math> f(t\, x+(1-t)\, y) \leq t\, f(x)+(1-t)\, f(y)</math>
Cela signifie que pour tous x et y de I , le segment <math>\ [A, B]</math> de <math>\ \R^2</math>, où <math>\ A = (x ; f(x))</math> et <math>\ B = (y ; f(y))</math>
est situé au-dessus de la courbe représentative de f .
On dit que la fonction f est concave si la fonction opposée est convexe.
Cela équivaut à : pour tous x et y de I et tout t dans [0, 1] on a :
<math> f(t\, x+(1-t)\, y) \geq t\, f(x)+(1-t)\, f(y)</math>.
La fonction f est dite strictement convexe sur I si :
quels que soient les éléments x et y distincts dans I et t compris entre 0 et 1 exclus, on a :
<math>\ f(t\, x+(1-t)\, y) < t\, f(x)+(1-t)\, f(y)</math>.
On dit que la fonction f est strictement concave si la fonction opposée est strictement convexe.
Cela équivaut à : quels que soient les éléments x et y distincts dans I et t compris entre 0 et 1 exclus, on a :
<math> f(t\, x+(1-t)\, y) > t\, f(x)+(1-t)\, f(y)</math>.
Remarque : on montre aisément ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe (ou concave)
La fonction f est convexe sur I si et seulement si <math>\ \{(x,\, y) \in I \times \R\, /\, y \geq f(x)\}</math> est un sous-ensemble convexe de <math>\ \R^2</math>.
La fonction f est concave sur I si et seulement si <math>\ \{(x,\, y) \in I \times \R\, /\, y \leq f(x)\}</math> est un sous-ensemble convexe de <math>\ \R^2</math>.
[ Inégalités de convexité Toute fonction f convexe sur I vérifie l'inégalité suivante (qu'on démontre par récurrence sur l'entier p ):
Si <math>x_1,\, \dots,\, x_p</math> sont des points de <math>I</math> et <math>t_1,\, \dots,\, t_p</math> des réels positifs ou nuls tels que <math>t_1 + \cdots + t_p = 1</math>, alors :
<math>f(t_1\, x_1 + \cdots + t_p\, x_p) \leq t_1\, f(x_1) + \cdots + t_p\, f(x_p)</math>
(lorsque f est strictement convexe, l'inégalité est stricte dès que les <math>x_i</math> ne sont pas tous égaux et que les <math>t_i</math> sont tous non nuls).
Toute fonction f concave sur I vérifie l'inégalité suivante :
Si <math>x_1,\, \dots,\, x_p</math> sont des points de <math>I</math> et <math>t_1,\, \dots,\, t_p</math> des réels positifs ou nuls tels que <math>t_1 + \cdots + t_p = 1</math>, alors :
<math>f(t_1\, x_1 + \cdots + t_p\, x_p) \geq t_1\, f(x_1) + \cdots + t_p\, f(x_p)</math>
(lorsque f est strictement concave, l'inégalité est stricte dès que les <math>x_i</math> ne sont pas tous égaux et que les <math>t_i</math> sont tous non nuls).
Nota : on utilise souvent ces inégalités avec des coefficients tous égaux : <math>t_1 = \dots = t_p = \frac</math>.
[ Régularité des fonctions convexes Pour toute fonction f convexe sur un intervalle ouvert I , on démontre que
f est continue en tout point ;
f est dérivable à gauche et à droite en tout point, et les fonctions <math>\ f\,'_g\,,\, f\,'_d</math> sont croissantes sur I ;
l'ensemble des points x où f n'est pas dérivable (c'est-à -dire tels que <math>\ f\,'_g(x) \neq f\,'_d(x)</math>) est au plus dénombrable .
[ Cas des fonctions continues Une fonction f continue sur I est convexe sur I si et seulement si quels que soient les éléments x et y de I :
<math>f\left(\frac\right) \leq \frac</math> (respectivement : concave, ?).
Une fonction f continue sur I est strictement convexe sur I si et seulement si quels que soient les éléments x et y distincts dans I :
<math>f\left(\frac\right) < \frac</math> (respectivement : strictement concave, >).
[ Cas des fonctions dérivables On dispose des caractérisations suivantes :
Une fonction f dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si sa courbe représentative est "au-dessus" (respectivement : "au-dessous") de chacune de ses tangentes.
Une fonction f dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si sa dérivée est croissante (respectivement : décroissante) sur I .
Une fonction f dérivable sur I est strictement convexe (respectivement : strictement concave) sur I si et seulement si sa dérivée est strictement croissante (respectivement : strictement décroissante) sur I .
[ Corollaire Une fonction f deux fois dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si <math>f(x) \geq 0</math> (respectivement : <math>f (x) \leq 0</math>) pour tout <math>x \in I</math>.
Une fonction f deux fois dérivable sur I est strictement convexe (respectivement : strictement concave) sur I si et seulement si <math>f(x) \geq 0</math> (respectivement : <math>f (x) \leq 0</math>) pour tout <math>x \in I</math> et l'ensemble des x tels que <math>\ f(x) = 0</math> est d'intérieur vide.
[ Remarque En particulier, pour qu'une fonction f deux fois dérivable sur I soit strictement convexe (respectivement : strictement concave) sur I , il suffit que <math>\ f(x) > 0</math> (respectivement : <math>\ f (x) < 0</math>) pour tout <math>x \in I</math> ; mais cette condition n'est pas nécessaire.
[ Exemples La fonction <math>\ \R \to \R,\, x \mapsto |x|</math> est convexe (mais pas strictement)
La fonction <math>\ \R \to \R,\, x \mapsto x^2</math> est strictement convexe
La fonction <math>\ \R \to \R,\, x \mapsto \exp</math> est strictement convexe
La fonction <math>\ \R^*_+ \to \R,\, x \mapsto \ln</math> est strictement concave.
La fonction <math>\ \R \to \R,\, x \mapsto x^2 + 2\, \cos x</math> est strictement convexe
Justification : pour la valeur absolue, cela résulte de l'inégalité triangulaire. Pour les 4 autres fonctions, on utilise la dérivée seconde ; en particulier, la dernière a pour dérivée seconde la fonction <math>\ \R \to \R,\, x \mapsto 2\, (1 - \cos x)</math> : elle est partout à valeurs positives ou nulles, et l'ensemble des points où elle s'annule est l'ensemble (noté <math>\ 2\, \pi\, \mathbb</math>) des multiples de <math>\ 2\, \pi</math> : il est d'intérieur vide (les seuls intervalles non vides qu'il contient sont réduits à un point).
[ Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique Étant donnés n réels strictement positifs <math>x_1,\, \dots,\, x_n</math>, on définit leur moyenne arithmétique <math>\ m_a</math> et leur moyenne géométrique <math>\ m_g</math> :
<math>m_a = \frac\, (x_1 + \cdots + x_n)</math> et <math>m_g = \sqrt[n\,]{x_1 \cdots x_n}</math>.
Il est classique que :
<math>m_g \leq m_a</math>.
<math>\ m_g = m_a</math> si et seulement si les <math>\ x_i</math> sont tous égaux.
On démontre habituellement cela à l'aide d'une inégalité de convexité.
Démonstration
Comme <math>\ m_g > 0</math> et <math>\ m_a > 0</math>, <math>m_g \leq m_a</math> équivaut (par croissance stricte du logarithme)
à <math>\ln(m_g) \leq \ln(m_a)</math>,
ou à <math>\frac\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}\right)</math>.
Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de convexité appliquée à la fonction logarithme népérien (concave), et aux coefficients (tous égaux) <math>t_1 = \dots = t_n = \frac</math>.
Le cas d'égalité résulte de ce que le logarithme népérien est strictement concave.
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Concavité
Revue de presse Concavit%E9
