ok Encyclopédie - Composition de fonctions & Video
Selection Videos Composition%20de%20fonctions
Carla Bruni Sarkozy a 6 cerveaux
D\' Aubrac en Margeride 14
Une estampe : une histoire / a print : a story
Une estampe : une histoire / Een prent : een verhaal

Attention nous ne sommes pas responsable du contenu, eBabylone collecte les infos de sites tiers

Revue de presse Composition_de_fonctions
shout shout

Composition de fonctions

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d'applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, d'en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Sommaire

[] Définition formelle

Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions f:X\to Y et g:Y \to Z. Si l'ensemble d'arrivée de f est inclus dans l'ensemble de départ de g (c'est-à-dire si f(X) \subset Y), on définit alors la composée de g par f, notée g \circ f par

\forall x \in X,\ (g\circ f)(x)=g[f(x)].

On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.

On se retrouve donc avec une nouvelle fonction g \circ f: X \to Z.

La notation g \circ f se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois g\circ f(x) pour (g \circ f)(x).

[] Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

\begin f: & \mathbb R_+ & \rightarrow & \mathbb R \\ & x & \mapsto & \sqrt \end

et

\begin g:&\mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ & x & \mapsto & -x \end

Ici, le domaine d'arrivée de g est \R. Or le domaine de départ de f est \R_+ (il n'existe pas de nombre réel tel que son carré soit strictement négatif). La fonction f\circ g n'a donc pas de sens ici. On peut cependant faire un abus de notation en notant f\circ g la composition de fonctions en supposant que le domaine de départ de g est seulement \R_-.

[] Propriétés

Ici on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

  • La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :
f \circ g \ne g \circ f
f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h
  • La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque \star) :
f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)
  • Si la fonction g est continue en x0 et la fonction f est continue en g(x0) alors f \circ g est continue en x0.
  • Composition de deux fonctions f et g strictement monotones ( le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes):
    • si f et g ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante;
    • si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.
  • Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :
(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'
Voir l'article théorème de dérivation des fonctions composées.
(g \circ f)^ = f^ \circ g^

[] Puissances fonctionnelles

On conserve les notations ci-dessus. Si Y \subset X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f2. Ainsi

f^2=f \circ f
f ^3= f \circ f \circ f

Et de manière plus générale:

\forall n \in \N^*, f^n=\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n\ \mathrm}

On pose

f^0=\operatorname_X

où \operatorname_X est l'application identité de l'ensemble X.

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction f bijective de X dans lui-même. Ainsi, f ? 1 désigne l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif, fn, est la composée de f ? 1 par elle-même ? n fois.

Attention à ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin2 est la fonction \sin \times \sin qui vérifie

\forall x \in \R,\ \sin^2(x) = \sin(x)\times \sin(x)

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

[] Autre notation

Au milieu du XXe siècle, quelques mathématiciens trouvèrent que la notation g \circ f portait à confusion et décidèrent d'utiliser xf pour f(x) et xfg pour (g \circ f)(x). Ils ne furent pas suivis et cette notation ne se rencontre que dans certains vieux livres.

[] Voir aussi

Opération binaire
numérique fonctionnelle en ensemble ordonné structurelle
élémentaire

+ addition
? soustraction
× multiplication
÷ division
^ puissance

arithmétique

div quotient euclidien
mod reste euclidien
? PGCD
? PPCM

combinatoire

( ) coefficient binomial
A arrangement

 ? composition
? convolution
ensemble de parties

? réunion
\ complémentation
? intersection
? différence symétrique

ordre total

min minimum
max maximum

treillis

? borne inférieure
? borne supérieure
ensembles

× produit cartésien
? union disjointe
^ puissance ensembliste

groupes

? somme directe
? produit libre
? produit en couronne

modules

? produit tensoriel
Hom homomorphismes
Tor torsion
Ext extensions
arbres

? enracinement

variétés connexes

# somme connexe

espaces pointés

? bouquet
? smash produit
? joint
vectorielle
(.) produit scalaire
? produit vectoriel
algébrique
[,] crochet de Lie
crochet de Poisson
? produit extérieur
homologique
? cup-produit
? produit d'intersection		 séquentielle
+ concaténation
logique booléenne
? ET (conjonction) ? OU (disjonction) ? OU exclusif ? IMP (implication) ? EQV (coïncidence)

Mirror2  

shout
Réagissez


Attention! tous les commentaites inaproprié seront supprimés
Titre:
Video YouTube ou google: (doit être en rapport avec le sujet)
Votre mail:
Un pseudo:
Votre site:
Commentaire (le html n'est pas autorisé, nombre de caractère maximum = 400)
  save (Comment eBabylone 1.0 beta)

Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Composition de fonctions
Base de liens  |  Ajouter lien  |  Contact Rss
On est 18 visiteur(s) en ligne