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En théorie des ensembles, la cardinalité représente la taille d'un ensemble.

Sommaire 1 Définition 1.1 Cas des ensembles finis 1.2 Cas des ensembles infinis 2 Propriétés 3 Exemples de cardinaux 4 Voir aussi

[] Définition

[] Cas des ensembles finis

Pour un ensemble fini la cardinalité est son nombre d'éléments (zéro, pour l'ensemble vide) :

card ({}) = 0 ;

card ({1, 2, 5}) = 3.

Ainsi, card (ensemble des faces d'un dé cubique) = 6

[] Cas des ensembles infinis

On dit que deux ensembles infinis ont même cardinal s'il existe une bijection de l'un sur l'autre. On dit aussi qu'ils sont équipotents. On montre qu'il n'existe aucune bijection entre un ensemble <math>E</math> et l'ensemble de ses parties <math>\mathfrak P(E)</math> et donc qu'il existe plusieurs tailles d'ensembles infinis. Ces différents infinis sont représentés par des nombres cardinaux transfinis : le cardinal d'un ensemble E est alors défini comme étant le plus petit ordinal équipotent à E.

Par exemple :

<math>\mathrm (\mathbb) = \aleph_0 < \mathrm (\mathbb) = 2^</math>

Cependant, et cela ne semble pas intuitif au premier abord :

<math>\mathrm (\mathbb) = \mathrm (\mathbb)</math> (cf. ensemble dénombrable)

Voir aussi Théorie axiomatique des ensembles.

[] Propriétés

1. card( P ( E ) ) = 2 ^{card( E )}
2. card( A ? B ) ? card( A ) + card( B ) = card( A + B )
3. card( A ? B ) = card( A ) + card( B ) - card( A ? B )

[] Exemples de cardinaux

Si E et F sont deux ensembles donnés, alors :

• les correspondances de E dans F forment un ensemble, noté habituellement « Corr( E, F) ». Le nombre de ces correspondances est :

<math> \mathrm{card \,Corr}\,( E, F) = 2^\, E \times \mathrm\, F} </math>

Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler que les graphes sont les sous-ensembles de E×F.

• les fonctions de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Fnct( E, F) ». Le nombre de ces fonctions est :

<math> \mathrm{card\, Fnct}\,( E, F) = (\mathrm\,F + 1)^\, E} </math>

• les applications de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Appl( E, F) ». Le nombre de ces applications est :

<math> \mathrm{card \,Appl}\,( E, F) = \mathrm\,F^\, E} </math>

Cette propriété explique pourquoi Appl( E, F) est le plus souvent noté « <math> F^E \, </math> ».

• les injections de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, noté habituellement « Inj( E, F) ». Cet ensemble est vide si cardE > cardF. Si cardE ? cardF, le nombre de ces injections est :

<math> \mathrm{card \,Inj}\,( E, F) = \frac{ \mathrm\,F)! }{ (\mathrm\,F - \mathrm\, E)! } </math>

• les surjections de E dans F forment un sous-ensemble de l'ensemble des applications, noté habituellement « Surj( E, F) ». Cet ensemble est vide si cardE < cardF. Si cardE ? cardF, le nombre de ces surjections est :

<math> \mathrm{card\, Surj}\,( E, F) = \sum_{i = 0}^F} (-1)^ \frac{ (\mathrmF)! }{ i! (\mathrmF - i)! } (\mathrmF - i)^E} </math>

• les bijections de E dans F forment un sous-ensemble des deux ensembles précédents, noté habituellement « Bij( E, F) ». Cet ensemble est vide si cardE ? cardF. Si cardE = cardF, le nombre de ces bijections est :

<math> \mathrm{card \,Bij}( E, F) = (\mathrm\,E)!= (\mathrm\,F)! </math>.

[] Voir aussi

• Algèbre abstraite
• Correspondances et Relations
• Famille finie
• Théorie des ensembles

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Cardinalité