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En analyse numérique, il existe toute une famille d'algorithmes permettant d'approcher la valeur numérique d'une intégrale. Toutes consistent à approcher l'intégrale <math>I = \int f(x) \, dx</math> par une formule dite de quadrature, du type <math>I(f) = \sum_^p \omega_i f(x_i)</math>. Le choix de p, des pondérations <math>\omega_i</math> et des n?uds <math>x_i</math> dépendent de la méthode employée. Il conviendra aussi de s'intéresser à la précision des formules utilisées.

Sommaire 1 Méthode de calcul d'intégrale à une dimension 1.1 Formules simples 1.1.1 Formules du rectangle et du point milieu 1.1.2 Formule du trapèze 1.1.3 Formule de Simpson 1.2 Formules composites 2 Autres méthodes de quadrature numérique 2.1 Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions 2.2 Voir aussi

[] Méthode de calcul d'intégrale à une dimension

Ces méthodes utilisent l'interpolation des fonctions à intégrer. Généralement, les fonctions sont interpolées par des polynômes dont on connait facilement la primitive.

[] Formules simples

[] Formules du rectangle et du point milieu

C'est la méthode la plus simple qui consiste à interpoler la fonction <math>f</math> à intégrer par une fonction constante (polynôme de degré 0). Soit <math>\xi</math> le point d'interpolation; la formule devient alors:

<math>I(f) = (b-a) f(\xi)\,</math>

Le choix du point a de l'importance pour la détermination du terme d'erreur <math>E(f) = I - I(f)\,</math> :

• Si <math>\xi = a\,</math> ou <math>\xi = b\,</math>, l'erreur est <math>E(f) = \frac f'(\eta), \quad \eta \in [a,b]</math>. C'est la méthode du rectangle;
• Si <math>\xi = (a+b)/2\,</math>, alors l'erreur devient <math>E(f) = \frac f(\eta), \quad \eta \in [a,b]\,</math>. Il s'agit de la méthode du point milieu.

Ainsi, le choix du point milieu améliore le degré d'exactitude de la formule, qui est défini comme le plus haut degré des polynômes pour lesquels la formule est exacte (c'est-à-dire <math>E(f) = 0</math>). La méthode du rectangle est exacte pour les fonctions constantes et celle du point milieu est eaxcte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 1. Ceci s'explique par le fait que pour l'intégration de <math>x</math>, la méthode du point milieu donne lieu à deux erreurs d'évaluation, égales en valeur absolue et opposées en signe.

[] Formule du trapèze

Si on interpole f par un polynôme de degré un (fonction affine), on a besoin de deux points d'interpolation, à savoir (a, f(a)) et (b, f(b)). L'intégrale est alors approchée par l'aire du polynôme interpolateur, en l'occurrence un trapèze. Ceci justifie le nom de méthode des trapèzes:

<math>I(f) = (b-a) \, \frac{f(a) + f(b)}</math>

L'erreur commise est

<math>E(f) = - \frac f(\eta), \quad \eta \in [a,b]</math>

L'erreur s'anulle pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à un. Selon ce critère, la méthode des trapèzes est donc moins performante que celle du point milieu, étant donné que les degrés d'exactitude sont les mêmes et que le nombre d'évaluations est plus grand pour la méthode des trapèzes que pour celle du point milieu.

[] Formule de Simpson

La fonction f est maintenant remplacer par une parabole, qui nécessite trois points d'interpolation. Les extrémités a, b, et leur milieu m sont choisis. La méthode de Simpson consiste alors à remplacer l'intégrale par

<math>I(f) = \frac \left[ f(a) + 4 f(m) + f(b) \right]</math>

L'erreur est

<math>E(f) = - \frac f^(\eta), \quad \eta \in [a,b]</math>

Le degré d'exactitude est de 4 pour cette méthode, pour 3 évaluations de f. Le tableau suivant résume les performances de chaque méthode

Méthode	Degré d'exactitude	Nombre de points
Rectangle	0	1
Point Milieu	1	1
Trapèze	1	2
Simpson	3	3

Les formules de Newton-Cotes permettent de généraliser ces résultats sur des intervalles constants, où la fonction f est interpolée par des polynômes de degré de plus en plus élevé. Pour des questions de stabilité numérique, il est préferable de limiter le degré du polynôme d'interpolation en subdivisant l'intervalle en sous-intervalles, pour lesquels une interpolation linéaire est suffisante.

[] Formules composites

Pour chacune des méthodes précédentes, le terme d'erreur dépend de b-a. Si cette amplitude est trop élevée, on peut réduire simplement l'erreur en découpant l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles, sur lesquels on calculera la valeur approchée de l'intégrale. On parle alors de formule composite. La valeur sur l'intervalle [a, b] sera la somme de la valeur sur chaque sous-intervalle.

Pour la méthode du point milieu, la formule devient

<math> I(f) = \frac \sum_^ f( m_k )</math>

où <math>m_k</math> est le milieu du k-ième sous-intervalle. Puisque les n sous-intervalles sont identiques, ils sont de la forme [a + k h, a + (k+1) h], avec h = (b-a)/n et k = 0, 1, 2, ..., n-1. Ceci entraîne finalement que <math>m_k = a + k h + h/2</math>. Le terme d'erreur s'écrit <math>E(h)= h^2 \frac f(\eta),\quad \eta\in [a,b]</math>. La formule composite a un ordre 1, comme précédemment. L'agrégation a fait baisser d'une puissance le terme en (a-b).

Pour la méthode des trapèzes, la formule composite est

<math>I(f) = \frac \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_^ f \left( a + k h \right) \right)</math>

Le terme d'erreur s'écrit <math>E(f)=h^2 \frac f(\eta),\quad \eta\in [a,b]</math>.

La formule composite de Simpson prend la forme

<math>I(f) = \frac \left[f(a)+f(b) + 2 \sum_^ f(x_i) + 4 \sum_^ f(x_i + h/2) \right]</math>

et l'erreur devient

<math>E(f) = -h^4 \frac f^(\eta),\quad \eta\in [a,b]</math>

[] Autres méthodes de quadrature numérique

• Méthode de Romberg
• Méthodes de quadrature de Gauss

[] Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions

• Méthode de Monte-Carlo

[] Voir aussi

• Intégrale
  • Table d'intégrales
  • Calcul intégral
  • Calcul numérique d'une intégrale
• Primitive
  • Table de primitives

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