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Calcul de la racine n-ième d'un nombre
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La racine n-ième (ou, rarement, racine énième) d'un nombre ![\sqrt[n]](http://upload.wikimedia.org/math/3/0/7/3078170f7aedde3f7a90dcfb305c6533.png)
d'un nombre réel positif A est la solution positive de l'équation xn = A avec 
.
Pour un entier n, il y a n solutions complexes distinctes pour cette équation si A > 0, mais une seule est réelle et positive.
Il s'agit en fait de calculer :
.
(ce qui découle de la relation exprimant un nombre strictement positif élevé à une puissance quelconque :
si a > 0 et 
alors 
)
Il existe une suite mathématique qui converge très rapidement, et permet de trouver :
- Soit x0 un nombre de départ ;
- Calculer la suite récurrente
![x_ = \frac \left[{(n-1)x_k +\frac}}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/6/0/9/609d6ace4927f7ffd374fa504c34e617.png)
jusqu'à obtenir la précision voulue.
Par exemple, pour calculer la racine carrée, on remplace n par 2 :
Pour de grands n cependant, la méthode est bien moins efficace, puisqu'elle demande le calcul de 
à chaque itération de la suite.
Sommaire |
[] Parité et nombre complexe
La solution de xn = A est un nombre réel si x est positif ou si n est impair.
Si x est négatif et que n est pair, la solution est un nombre complexe non réel.
[] Explication à partir de la méthode de Newton
- Soit x0 un nombre de départ et soit f(x) = xn ? A une fonction de
dans 
; - Calculer la suite récurrente
jusqu'à atteindre la précision voulue.
En effet, la recherche d'une racine nième peut être ramenée à la recherche du zéro de la fonction f(x) = xn ? A, dont la dérivée est 
et la règle d'itération :
![x_ = x_k - \frac = x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^} = x_k - \frac+\frac{n x_k^} = \frac \left[{(n-1)x_k +\frac}}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/b/d/e/bde3bc13ef9a97d25a6a46e832cfb31c.png)
[] Nombres négatifs
Dans le cas où A est négatif, sa racine n-ième est alors la solution réelle (négative) de cette même équation (x n = A).
Dans le cas où n est pair, cette solution n'existe pas !
Dans le cas contraire, cela revient à calculer ![-\sqrt[n]](http://upload.wikimedia.org/math/7/6/9/7691717175aa4734ad7abb8aaf4883c1.png)
. Dans ce cas, -A est positif (puisque A est négatif) et on peut calculer ![\sqrt[n]](http://upload.wikimedia.org/math/1/9/2/19273e32652b8fa4aae2a630471d1f4f.png)
avec la méthode décrite ci-dessus.
[] Liens internes
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul de la racine cubique d\'un nombre
