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En théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Il énonce qu'il existe un ensemble infini.

Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

<math>\exists\omega,\ \empty\in\omega \wedge (\forall x,\ x\in\omega\Rightarrow x\cup\{ x\}\in\omega )</math>

ou en d'autres termes: il existe un ensemble ?; tel que l'ensemble vide <math>\empty</math> appartienne à ? et tel que toutes les fois où x est un élément de ?, l'ensemble formé en prenant l'union de x avec son singleton est également un élément de ?.

Pour comprendre cet axiome, appelons tout d'abord <math>x\cup\{ x\}</math> le successeur de x. Notons que l'axiome de la paire nous permet de construire le singleton , et l'axiome de la réunion nous sert à former l'union. Les successeurs sont utilisés pour définir et coder les entiers dans la théorie des nombres entiers naturels. Dans le codage des entiers, zéro est l'ensemble vide <math>(0=\empty)</math>, et 1 est le successeur de 0 :

<math>1=0\cup\{ 0\} =\empty\cup\ =\ =\</math>

De même, 2 est le successeur de 1:

<math>2=1\cup\{ 1\} =\\cup\{ 1\} =\{\empty ,\ \\} =\{0,\ 1\}</math>

et ainsi de suite. Une conséquence de cette définition est que chaque nombre entier est égal à l'ensemble de tous les nombres entiers qui le précèdent. Nous pourrions envisager de former, en utilisant ce procédé, l'ensemble de tous les nombres entiers naturels; mais il s'avère qu'en utilisant seulement ces axiomes la construction est impossible. L'axiome de l'infini assure l'existence de cet ensemble ? et il le définit par une méthode semblable à celle du raisonnement par récurrence, en supposant d'abord que ? contient zéro, puis en imposant que le successeur d'un quelconque élément de ? soit également dans ?.

Cet ensemble peut contenir d'autres éléments que les nombres entiers naturels (qui forment un sous-ensemble de ce premier), mais nous pouvons appliquer le schéma d'axiome de séparation pour retirer les éléments indésirables, libérant l'ensemble ? de tous les nombres entiers naturels. Cet ensemble est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. Ainsi l'axiome affirme essentiellement que:

Il existe un ensemble contenant tous les nombres entiers naturels.

L'axiome de l'infini est également l'un des axiomes de von Neumann-Bernays-Gödel.

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Axiome de l\'infini