Axiome

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Le mot axiome vient du grec ?????? (axioma), qui signifie "qui est considéré comme digne ou convenable" ou "qui est considéré comme évident en soi". Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de ??????? (axioein), signifiant considérer comme digne, lui-même dérivé de ????? (axios), signifiant digne.

En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes.

En mathématiques le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique. Cette axiomatique doit bien entendu être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point de départ dans un système de logique et il peut être choisi arbitrairement. Bien entendu, la pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation, que vient la réfutation de la théorie non-contradictoire, et par voie de conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la physique théorique. Des axiomes servent de base élémentaire pour tout système de logique formelle. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) :

un nombre noté 0 existe
tout nombre X a un successeur noté succ(X)
X+0 = X
succ(X) + Y = X + succ(Y)

Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes.

En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit:

succ(X) = X + 1

1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))

1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4

1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))

1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0))

1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4

1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3)

Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome.

Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1^[1] postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne).

Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une courbure.

Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du XIX^e siècle et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois a montré que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique.

Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née.

Au XX^e siècle, le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour déduire le principe de récurrence sur les entiers ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

[] Notes

? Il est précisé ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité.