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L'atome d'hydrogène est l'atome le plus simple qui existe : il n'est composé que d'un proton et d'un électron.

Il a donc été logiquement le premier atome pour lequel on a effectué les calculs théoriques, ce qui a permis de valider successivement les théories de la physique quantique au fur et à mesure des progrès accomplis : d'abord l'ancienne théorie des quanta, puis la mécanique quantique non relativiste, et enfin la théorie quantique des champs.

[] Atome isolé

Dans le cas d'un atome d'hydrogène isolé, le potentiel est à symétrie sphérique.

L'équation de Schrödinger pour l'onde ? de l'électron s'écrit

<math> \mathbf \left| \psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \psi (t) \right\rangle = \frac}^2}\left| \psi (t)\right\rangle + V(\hat},t)\left| \psi (t) \right\rangle</math>

l'observable position <math>\hat}</math> est réduite ici à la distance au noyau.

Résolution de l'équation de Schrödinger pour l'atome d'hydrogène :

La fonction d'onde indépendante du temps de l'unique électron de l'hydrogène à l'état fondamental s'écrit :

<math>\mathbf_(r) = C_e^{-a r}</math>

La fonction est à symétrie sphérique, c'est à dire elle dépend uniquement de la distance du noyau, les valeurs des nombres quantique n, l et m sont mis en indice. <math>C_</math> est la constante de rénormalisation. La valeur de a peut être déterminée avec l'équation de Schrödinger:

<math>-\frac\frac{d^2 \psi(r)} + E_ \psi(r) = E \psi(r)</math>

Avec la fonction d'onde définit auparavant, et en utilisant les valeurs de l'energie potentielle qui dépend de r et de l'energie totale on trouve :

<math>-\frac\frac{d^2( C_e^{-a r} )} + \frac{-Z e^2}{4 \pi \epsilon_ r} C_e^{-a r} = \frac{-Z^2 e^4 m}{8 \epsilon_^2 h^2 n^2} C_e^{-a r}</math>

La valeur de a est indépendante de r, même lorsque r tend vers l'infini. Comme il s'agit de l'état fondamental n=1, ainsi on trouve :

<math>-\frac{\hbar^2 a^2}= \frac{-Z^2 e^4 m}{8 \epsilon_^2 h^2}</math>

donc

<math>a^2 = \frac{Z^2 e^4 m^2}{4 \epsilon_^2 h^2 \hbar^2}</math>

<math>a = \frac{Z e^2 m}{2 \epsilon_ h \hbar} = \frac{Z e^2 m \pi} h^2} = \frac}</math>

Où <math>a_0</math> est le premier rayon de Bohr et Z le nombre de protons. Pour déterminer la constante de rénormalisation il faut résoudre l'intégrale suivante, car la probabilité de trouver l'électron à n'importe quel endroit de l'espace doit être 1 :

<math>\int{|\psi|^2 dV} = 1</math> <math>\int^2 e^{-2 \frac r} dV} = 1</math>

Ce qui nous donne :

<math>C_ = \frac} (\frac)^}</math>

Et la fonction d'onde normée, à l'état fondamental est donc :

<math>\psi_ = \frac} (\frac)^} e^r}</math>

La probabilité de trouver l'électron à une distance r du noyau est donnée par :

<math>P(r) = 4 (\frac)^} r^2 e^r}</math>

Sur le graphe de la densité de probabilité, la distance au noyau est donnée en multiple du premier rayon de Bohr, on voit immédiatement que la probabilité est maximale au premier rayon de Bohr:

- Le graphe va bientôt être réctifié. -

Image:Schrodinger hydrogene2.jpg

[] Bibliographie

• E. Hansch, A. Schawlaw & G. Series ; Le spectre de l'hydrogène atomique, Pour La Science 19 (Mai 1979) 46.

• S.G. Karshenboim et al. (éditeurs) ; The hydrogen atom - Precision physics of simple atomic systems, Lecture Notes in Physics 570, Springer-Verlag (2001). Recueil d'articles de revue sur l' état de l'art en spectroscopie atomique, mesures de fréquences, et mesures de constantes fondamentales. Niveau troisième cycle universitaire.

[] Voir aussi

• Molécule d'hydrogène

 

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