Revue de presse Arbre_binaire_de_recherche
Arbre binaire de recherche
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En informatique, un arbre binaire de recherche (ABR) est un arbre binaire dans lequel chaque n?ud possède une clé, telle que chaque n?ud du sous-arbre gauche ait une clé inférieure ou égale à celle du n?ud considéré, et que chaque n?ud du sous-arbre droit possède une clé supérieure ou égale à celle-ci ? selon la mise en ?uvre de l'ABR, on pourra interdire ou non des clés de valeur égale. Les n?uds que l'on ajoute deviennent des feuilles de l'arbre.
Sommaire |
[] Opérations
[] Recherche
La recherche dans un arbre binaire d'un n?ud ayant une clé particulière est un procédé récursif. On commence par examiner la racine. Si sa clé est la clé recherchée, l'algorithme termine et renvoie la racine. Si elle est strictement inférieure, alors elle est dans le sous-arbre droit, sur lequel on effectue alors récursivement la recherche. De même si la clé de la racine est strictement supérieure à la clé recherchée la recherche continue sur le sous-arbre gauche. Si on atteint une feuille dont la clé n'est pas celle recherchée, on sait alors que la clé recherchée n'appartient à aucun n?ud. On peut la comparer avec la recherche par dichotomie qui procède à peu près de la même manière sauf qu'elle accède directement à chaque élément d'un tableau au lieu de suivre des liens.
Cette opération requiert un temps en O(ln n) dans le cas moyen, mais O(n) dans le cas critique où l'arbre est complètement déséquilibré et ressemble à une liste chainée.
[] Insertion
L'insertion d'un n?ud commence par une recherche : on cherche la clé du n?ud à insérer ; lorsqu'on arrive à une feuille, on ajoute le n?ud comme fils de la feuille en comparant sa clé à celle de la feuille : si elle est inférieure, le nouveau n?ud sera à gauche ; sinon il sera à droite.
La complexité est évidemment la même que pour la recherche : O(ln n) dans le cas moyen et O(n) dans le cas critique.
[] Suppression
Plusieurs cas sont à considérer, une fois que le n?ud à supprimer a été trouvé à partir de sa clé :
- Suppression d'une feuille : Il suffit de l'enlever de l'arbre vu qu'elle n'a pas de fils.
- Suppression d'un n?ud avec un enfant : Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaçant par son fils.
- Suppression d'un n?ud avec deux enfants : Supposons que le n?ud à supprimer soit appelé N (le n?ud de valeur 7 dans le graphique ci-dessous). On le remplace alors par son successeur le plus proche (le n?ud le plus à gauche du sous-arbre droit - ci-dessous, le n?ud de valeur 9) ou son plus proche prédécesseur (le n?ud le plus à droite du sous-arbre gauche - ci-dessous, le n?ud de valeur 6). Cela permet de garder une structure d'arbre binaire de recherche. Puis on applique à nouveau la procédure de suppression à N, qui est maintenant une feuille ou un n?ud avec un seul fils.
Pour une implémentation efficace, il est déconseillé d'utiliser uniquement le successeur ou le prédécesseur car cela contribue à déséquilibrer l'arbre.
Dans tous les cas cette opération requiert de parcourir l'arbre de la racine jusqu'à une feuille : le temps d'exécution est donc proportionnel à la profondeur de l'arbre qui vaut n dans le pire des cas, d'où une complexité maximale en O(n).
[] Parcours ordonné
On peut facilement récupérer les éléments d'un arbre binaire de recherche dans l'ordre de leurs clés en parcourant récursivement le sous-arbre gauche, puis en ajoutant la racine, puis en parcourant récursivement le sous-arbre droit. On peut évidemment le faire dans l'ordre inverse en commençant par le sous-arbre droit.
Le parcours de l'arbre se fait en O(n), puisqu'il doit passer par chaque n?ud.
[] Tri
On peut dès lors implémenter un algorithme de tri simple mais peu efficace, en insérant toutes les clés que l'on veut trier dans un nouvel arbre binaire de recherche, puis en parcourant de manière ordonnée cet arbre comme ci-dessus.
Le pire temps d'exécution est en O(n²), obtenu lorsque les clés sont déjà ordonnées : on obtient alors une liste chaînée. Par exemple, si on donne dans cet ordre les clés 1, 2, 3, 4, 5, on obtient l'arbre (Vide, 1, (Vide, 2, (Vide, 3, (Vide, 4, (Vide, 5))))). Il y a de nombreuses façons d'éviter ce problème, la plus commune étant l'arbre équilibré. On peut alors arriver à un pire cas en O(n ln n).
[] Types d'arbres binaires de recherche
Il existe de nombreux types d'arbres binaires de recherche. Les arbres AVL et les arbres rouge-noir sont deux types d'arbres équilibrés. Un arbre splay est un arbre binaire de recherche qui rapproche automatiquement de la racine les éléments utilisés fréquemment. Dans un treap, chaque n?ud possède aussi une priorité supérieure à chacun de ses fils.
[] Liens externes
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/ Arbre binaire de recherche
