Anneau intègre

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Un anneau intègre est, en mathématiques et plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un anneau qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.

[] Définition

Un anneau $(A,+,\times)$ est dit intègre s'il est unitaire, s'il est non réduit à l'élément neutre et ne possède aucun diviseur de zéro, c?est-à-dire que tout élément non nul de $A$ est régulier pour la deuxième loi notée multiplicativement, soit encore :

$\forall (a, b) \in A^2,\ a\times b = 0_A \Longrightarrow (a=0_A \quad \mathrm\quad b=0_A)$

Par convention, l'anneau nul n'est pas intègre.

Nicolas Bourbaki (Algèbre, chapitre 1) et de nombreux auteurs imposent dans leur définition à un anneau intègre d'être commutatif, mais ne l'imposent pas pour la définition d'un corps, cela est justifié par les propriétés qu'ont les anneaux intègres commutatifs.

[] Propriétés

Tout corps est un anneau intègre.
Tout anneau (commutatif) intègre peut être plongé dans un corps. Il existe à isomorphisme près un plus petit corps dans lequel il peut être plongé, appelé le corps des fractions.
Un anneau (commutatif) $A$ est intègre si et seulement si son anneau des polynômes $A [X]$ l'est.

[] Exemples

L'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs est un anneau intègre. Par définition, $\mathbb Q$ est son corps des fractions.
L'anneau des congruences modulo 6 noté $\mathbb Z/6\mathbb Z$ n'est pas intègre car on peut y écrire $\overline\times \overline=\overline=\overline$ .
L'anneau des congruences modulo $n$ noté $\Z/n\Z$ est intègre si $n$ est premier, et dans ce cas, c'est un corps.