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En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:
<math>(E, \mathbb K, +,\cdot, \times)</math> est une algèbre sur un corps <math>\mathbb K</math>, ou autrement dit une <math>\mathbb K</math>- algèbre si :
- (E, +, ·) est un espace vectoriel sur <math>\mathbb K</math>
- la loi × est définie de E x E dans E ( loi de composition interne )
- la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi +
- pour tout a, b dans <math>\mathbb K</math> et pour tout x, y dans E alors (a·x)×(b·y) = (a×b)·(x×y)
[] Exemples d'algèbres
- L'ensemble des nombres complexes <math>(\mathbb C, \mathbb R, +,\cdot, \times)</math> est une <math>\mathbb R</math>- algèbre associative et commutative.
- L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans <math>\mathbb R</math> <math>\left(\mathcal M_n(\mathbb R), \mathbb R, +,\cdot, \times \right)</math> est une un <math>\mathbb R</math>- algèbre associative et non commutative.
- L'espace euclidien <math>\mathbb R^3</math> muni du produit vectoriel <math>(\mathbb R^3, \mathbb R, +,\cdot, \wedge)</math> est une un <math>\mathbb R</math>- algèbre non associative et non commutative.
- L'ensemble des quaternions <math>(\mathbb H, \mathbb R, +,\cdot, \times)</math> est une <math>\mathbb R</math>- algèbre associative et non commutative.
- L'ensemble des octonions <math>(\mathbb O, \mathbb R, +,\cdot, \times)</math> est une <math>\mathbb R</math>- algèbre non associative et non commutative.
- L'ensemble des biquaternions <math>(\mathbb B, \mathbb R, +,\cdot, \times)</math> est une <math>\mathbb R</math>- algèbre associative et non commutative.
- L'ensemble des biquaternions <math>(\mathbb B, \mathbb C, +,\cdot, \times)</math> est une <math>\mathbb C</math>- algèbre associative et non commutative.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre sur un corps
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